背包体积循环正序和逆序的区别

先说说01背包怎么做，它的代码思路是什么

for(int i=1;i<=n;i++)

    for(int j=v;j>=v[i];j--)

        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

 

以上是01背包的核心代码（当然v和v数组不能同时出现，只是为了方便表示体积），首先第一层循环很好理解，就是循环一遍n个物品。第二层循环是在循环背包体积，至于为什么倒着循环请看下面的解释，这里先说为什么要循环体积。f[j]数组的含义就是在体积为j的时候，能拿到的最大价值是多少。对于动态规划，那肯定要动，如果当前背包体积小于物品体积，那肯定拿不了，动不了，那就将它设置为边界条件。而开头肯定是背包总体积。而它的动态转移方程也很好理解，当前循环到第i个物品，那就看看到底是拿它好还是不拿好。如果不拿，那当然就不动，是它自己。如果拿了的话，当前背包体积肯定要减去这个物品的体积，同时价值也会加上这个物品的价值，这样dp方程就出来了，就是这两个情况比较大小，然后赋值。

for(int i=1;i<=n;i++)

    for(int j=v[i];j<=v;j++)

        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

 

这是完全背包的代码，与01背包的代码只有一个区别，那就是体积循环的时候倒过来了，是正序循环的。但是其实我第一次学完全背包的时候记的代码是这样的：

for(int i=1;i<=n;i++)

    for(int j=v;j>=v[i];j--)

        for(int k=1;k<=j/v[i];k++)

            f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);

 

对于初学者而言，第二种完全背包的写法当然是更容易理解的，因为加上这个k的循环，代表了当前背包的体积装1~j/[v[i]]个，j/[v[i]]这就是最大个数，因为你不能装超过背包体积的东西。那么加上这一层循环，装一个就加一个的价值，装两个就加两个的价值，很容易理解，但是这样显然是更慢一些的，因为它比第一种方法多了一层循环。而我们在知道第一个是正确的情况下，看看把循环顺序倒过来，能不能起到k循环个数的作用。

现在我们造一组数据：

5（个数） 10（体积）

1   2（前面是价值，后面是体积）

2   3

3   5

6   8

9   10（虽然我造了五组数据，但其实只需要第一组就能明白其中的奥妙）

现在我们按照完全背包的第一种代码来模拟一下。

当i=1时，就是拿第一件物品的时候拿几件的循环

j=2；j<=10；j++

那么f[2]=max(f[2],f[2-2]+1)=1;这是第一个能拿的体积

f[3]=1;

注意接下来的f[4]!!!!

f[4]=max(f[4],f[4-2]+1)=2;

这时候你会发现，在我们只循环第一件物品的时候，它就相当于拿了两次第一个物品，而价值也相应的乘以了两倍。同理，f[6]=3,f[8]=4.......。而这也是完全背包的性质，一个物品可以拿无数次。

那么我们用同样的一组数据代入01背包的倒序循环体积代码：

f[10]=max(f[10],f[8]+1)=1;

这时候我们惊奇的发现，完全背包刚刚f[10]=5,而01背包f[10]=1,倒着循环体积，那么当前背包的体积就要去找前面的，而前面的都肯定是没有拿过这个物品的，所以可以保证只拿一次。反之，正着循环就会拿好几次，直到你背包装不下了为止。

我总算彻底地理解了背包了ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ