一本通1269 有限背包

【题目描述】

为了庆贺班级在校运动会上取得全校第一名成绩，班主任决定开一场庆功会，为此拨款购买奖品犒劳运动员。期望拨款金额能购买最大价值的奖品，可以补充他们的精力和体力。

【输入】

第一行二个数n(n≤500)，m(m≤6000)，其中n代表希望购买的奖品的种数，m表示拨款金额。

接下来n行，每行3个数，v、w、s，分别表示第I种奖品的价格、价值（价格与价值是不同的概念）和能购买的最大数量（买0件到s件均可），其中v≤100，w≤1000，s≤10。

【输出】

一行：一个数，表示此次购买能获得的最大的价值（注意！不是价格）。

【输入样例】

5 1000
80 20 4
40 50 9
30 50 7
40 30 6
20 20 1

【输出样例】

1040

思路：其实这个题完全可以改一下完全背包的代码，只要把循环里的条件改成几件就可以，但是那样的话复杂度是O（n^3），有点慢，所以改进一下代码。

这个拆分的思路非常巧妙（也有可能我是第一次听所以感觉巧妙），把一个数拆成2的n次方和一个别的数，比如说33，33=1+32=1+2+30=1+2+4+26=1+2+4+8+18=1+2+4+8+16+2，把这个数拆开，然后把其中的任意几个数相加，会发现，这些数的和可以取到1~33中的任意值，这样就可以大大简化时间复杂度，先上代码

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[6500],v[510],w[510],k[510],v_[6500],w_[6500];//数组大小开到n*log2(m)就可以
int n,m,cnt;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>v[i]>>w[i]>>k[i];//输入
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int r=1;//2的0次方开始
while(r<=k[i])//如果可以再拆，那么继续
{
cnt++;//cnt这个变量的含义其实可以理解为种类，比如说把两个第一类物品捆绑到一起，就变成了一种物品，因为这种物品可以通过和其他的加来得到任意一个数，所以这样做是没问题的
v_[cnt]=v[i]*r;//新数组，就是捆绑之后的数据
w_[cnt]=w[i]*r;
k[i]-=r;//别忘了-r
r=r*2;//2的下一次方
}
if(k[i]!=0)//如果此时还有剩余，那么再开一个，存进去
{
cnt++;
v_[cnt]=v[i]*k[i];
w_[cnt]=w[i]*k[i];
k[i]=0;
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)//循环，从第一种开始循环
for(int j=m;j>=v_[i];j--)//其实下面就是01背包的操作
f[j]=max(f[j],f[j-v_[i]]+w_[i]);
cout<<f[m];
return 0;
}