POJ--3468 A Simple Problem with Integers(线段树/树状数组/分块)
记录
11:03 2024-2-25
http://poj.org/problem?id=3468
1. 线段树
区间增加 + 区间查询
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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 100005;
const int DAT_SIZE = (1 << 18) - 1;
int N, Q;
ll a[MAXN];
// 线段树
// a 给这个节点对应的区间内的所有元素共同加上的值
// b 在这个节点对应的区间中除去a之外其他的值的和
ll datA[DAT_SIZE], datB[DAT_SIZE];
// 对区间[a, b)同时加x
// k是节点的编号， 对应的区间是[l, r)
void add(int a, int b, int x, int k, int l, int r) {
if (a <= l && r <= b) {
// a.给这个节点对应的区间内的所有元素共同加上的值
datA[k] += x;
} else if (l < b && a < r) {
// b.在这个节点对应的区间中除去a之外其他的值的和
datB[k] += (min(b, r) - max(a, l)) * x;
add(a, b, x, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2);
add(a, b, x, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r );
}
}
// 计算[a, b)的和
// k是节点的编号 ， 对应的区间是[l, r)
ll sum(int a, int b, int k, int l, int r) {
if (b <= l||r <= a) {
return 0;
} else if (a <= l && r <= b) {
//a l r b 全部包含
return datA[k] * (r - l) + datB[k];
} else {
// 交集区间上同时加上的值 + 子集区间上加上的值
// 如果对于父亲节点同时加了一个值， 那么这个值就不会在儿子节点被重复考虑。
// 在递归计算和时再把这一部分的值加到结果里面就可以了。
ll res = (min(b, r) - max(a, l)) * datA[k];
res += sum(a, b, k * 2 + 1, l, (l + r) / 2);
res += sum(a, b, k * 2 + 2, (l + r) / 2, r);
return res;
}
}
int main() {
cin >> N >> Q;
for(int i = 0; i < N; i++) {
scanf("%lld", &a[i]);
add(i, i + 1, a[i], 0, 0, N);
}
char c[2];
int l, r, v;
for(int i = 0; i < Q; i++) {
// %s 它会读入一个不含空格、TAB和回车符的字符串，存入字符数组
// %c 会读入\n
scanf("%s%d%d", c, &l, &r);
if(c[0] == 'C') {
scanf("%d", &v);
add(l - 1, r, v, 0, 0, N);
} else {
printf("%lld\n" , sum(l - 1, r, 0, 0, N));
}
}
}
2. 树状数组
区间增加 + 区间查询
把区间增加转变为单点增加，利用两个树状数组\(c_0 和 c_1\)
将”C l r d" 转化为
- 在树状数组\(c_0\)中，把位置l上的数加d
- 在树状数组\(c_0\)中，把位置r + 1上的数减d
- 在树状数组\(c_1\)中，把位置l上的数加l * d
- 在树状数组\(c_1\)中，把位置r + 1上的数减(r + 1) * d
建立sum存储a的原始前缀和
将“Q l r” 转化为 1~r 和 1~l-1两部分进行相减
$ (sum[r] + (r + 1) * ask(c_0, r) - ask(c_1, r)) - (sum[l - 1] + l * ask(c_0, l - 1) - ask(c_1, l - 1)) $
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#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 100005;
int N, Q;
ll a[MAXN], sum[MAXN];
ll c[2][MAXN];
// k表示是哪个树状数组，i表示位置, v表示加入的值
void add(int k, int i, int v) {
while (i <= N){
c[k][i] += v;
i += i & -i;
}
}
// k表示是哪个树状数组，i表示位置
ll ask(int k, int i) {
ll s = 0;
while (i > 0) {
s += c[k][i];
i -= i & -i;
}
return s;
}
int main() {
cin >> N >> Q;
for(int i = 1; i <= N; i++) {
scanf("%lld", &a[i]);
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
char c[2];
int l, r, v;
for(int i = 0; i < Q; i++) {
// %s 它会读入一个不含空格、TAB和回车符的字符串，存入字符数组
// %c 会读入\n
scanf("%s%d%d", c, &l, &r);
if(c[0] == 'C') {
scanf("%d", &v);
add(0, l, v);
add(0, r + 1, -v);
add(1, l, l * v);
add(1, r + 1, -(r + 1) * v);
} else {
ll result = (sum[r] + (r + 1) * ask(0, r) - ask(1, r))
- (sum[l - 1] + l * ask(0, l - 1) - ask(1, l - 1));
printf("%lld\n", result);
}
}
}
延迟标记
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int SIZE=100010;
struct SegmentTree{
int l,r;
long long sum,add;
#define l(x) tree[x].l
#define r(x) tree[x].r
#define sum(x) tree[x].sum
#define add(x) tree[x].add
}tree[SIZE*4];
int a[SIZE],n,m;
void build(int p,int l,int r)//No.p, [l,r]
{
l(p)=l,r(p)=r;
if(l==r) { sum(p)=a[l]; return; }
int mid=(l+r)/2;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1);
}
void spread(int p)
{
if(add(p))
{
sum(p*2)+=add(p)*(r(p*2)-l(p*2)+1);
sum(p*2+1)+=add(p)*(r(p*2+1)-l(p*2+1)+1);
add(p*2)+=add(p);
add(p*2+1)+=add(p);
add(p)=0;
}
}
void change(int p,int l,int r,int z)
{
if(l<=l(p)&&r>=r(p))
{
sum(p)+=(long long)z*(r(p)-l(p)+1);
add(p)+=z;
return;
}
spread(p);
int mid=(l(p)+r(p))/2;
if(l<=mid) change(p*2,l,r,z);
if(r>mid) change(p*2+1,l,r,z);
sum(p)=sum(p*2)+sum(p*2+1);
}
long long ask(int p,int l,int r)
{
if(l<=l(p)&&r>=r(p)) return sum(p);
spread(p);
int mid=(l(p)+r(p))/2;
long long ans=0;
if(l<=mid) ans+=ask(p*2,l,r);
if(r>mid) ans+=ask(p*2+1,l,r);
return ans;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
while(m--)
{
char op[2]; int x,y,z;
scanf("%s%d%d",op,&x,&y);
if(op[0]=='C')
{
scanf("%d",&z);
change(1,x,y,z);
}
else printf("%lld\n",ask(1,x,y));
}
}
3. 分块
这个就是较为朴素的做法了，分块的思想:大段维护、局部朴素，直接复制书上的了
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
long long a[100010], sum[100010], add[100010];
int L[100010], R[100010]; // 每段左右端点
int pos[100010]; // 每个位置属于哪一段
int n, m, t;
void change(int l, int r, long long d) {
int p = pos[l], q = pos[r];
if (p == q) {
for (int i = l; i <= r; i++) a[i] += d;
sum[p] += d*(r - l + 1);
}
else {
for (int i = p + 1; i <= q - 1; i++) add[i] += d;
for (int i = l; i <= R[p]; i++) a[i] += d;
sum[p] += d*(R[p] - l + 1);
for (int i = L[q]; i <= r; i++) a[i] += d;
sum[q] += d*(r - L[q] + 1);
}
}
long long ask(int l, int r) {
int p = pos[l], q = pos[r];
long long ans = 0;
if (p == q) {
for (int i = l; i <= r; i++) ans += a[i];
ans += add[p] * (r - l + 1);
}
else {
for (int i = p + 1; i <= q - 1; i++)
ans += sum[i] + add[i] * (R[i] - L[i] + 1);
for (int i = l; i <= R[p]; i++) ans += a[i];
ans += add[p] * (R[p] - l + 1);
for (int i = L[q]; i <= r; i++) ans += a[i];
ans += add[q] * (r - L[q] + 1);
}
return ans;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
// 分块
t = sqrt(n*1.0);
for (int i = 1; i <= t; i++) {
L[i] = (i - 1)*sqrt(n*1.0) + 1;
R[i] = i*sqrt(n*1.0);
}
if (R[t] < n) t++, L[t] = R[t - 1] + 1, R[t] = n;
// 预处理
for (int i = 1; i <= t; i++)
for (int j = L[i]; j <= R[i]; j++) {
pos[j] = i;
sum[i] += a[j];
}
// 指令
while (m--) {
char op[3];
int l, r, d;
scanf("%s%d%d", op, &l, &r);
if (op[0] == 'C') {
scanf("%d", &d);
change(l, r, d);
}
else printf("%lld\n", ask(l, r));
}
}
