poj2891一般模线性方程组

链接：http://poj.org/problem?id=2891

题意：给k对(ai,ri)，解模线性方程组 m ≡ ri (mod) ai 判定是否有解，求最小解。

思路：由于这里的ai不满足两两互质，所以不能用孙子定理。

所以就是解一般的模线性方程组。看了解题报告，把每两个方程合并来做。

参考链接：http://www.cnblogs.com/54zyq/articles/3356051.html

这道题我有一个不懂的地方，查了书才明白。

对方程  ax  ≡  b (mod) n ，d = gcd(a,n) 若 d | b 则 有 d 个解 ,最小的解为x0 = (x*(b/d) mod n + n )mod(n/d) ，则所有满足方程 x = x0 (mod) (n/d) 的 x 都是原方程的解。

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<algorithm>
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;

typedef long long LL;

const double PI=acos(-1);
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-10;
const int maxn=100000;
int k;
LL a[maxn],r[maxn];

void egcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        d=a;x=1;y=0;
    }
    else
    {
        egcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
LL solve()
{
    LL A=a[0],R=r[0],d,x,y;
    for(int i=1;i<k;i++)
    {
        egcd(A,a[i],d,x,y);
        if((r[i]-R)%d)
            return -1;
        x=x*((r[i]-R)/d)%(a[i]/d);
        //此时新的方程变为：m ≡ x*a1 + r1 mod (lcm(a1,a2))
        R+=x*A;//新的r=x*a1+r1
        A=A*a[i]/d;//新的A=lcm(a1,a2)
        R%=A; //缩小一下R的范围
    }
    return R>0?R:R+A;
}
int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
    while(~scanf("%d",&k))
    {
        for(int i=0;i<k;i++)
            scanf("%lld%lld",&a[i],&r[i]);
        printf("%lld\n",solve());
    }
    return 0;
}