组合数取模的题……

 

聪聪考试

难度级别：C； 运行时间限制：1000ms； 运行空间限制：262144KB； 代码长度限制：2000000B

试题描述

聪聪是一个善良可爱、睿智聪慧的好孩子。聪聪是100%的学霸，这一天她在考数学。聪聪很快做到了最后一道题：“高一八班有n个人，从1到n编号，一次互判作业时，老师随机将作业发到这n个人手中。已知有k个人拿到的不是自己的作业，那么请问有多少种情况符合条件呢？”这么简单的问题聪聪当然会做了，她想考考你，你能不能比她先给出问题的答案呢?

输入

共1行，包含2个整数n和k。

输出

共1行，包含1个整数，表示答案。由于答案可能很大，请输出答案模10007的余数。

输入示例

4 3

输出示例

8

其他说明

对于30%的数据，0≤k≤n≤10。
另有10%的数据，k=0。
另有10%的数据，k=1。
对于70%的数据，0≤k≤n≤10000。
对于100%的数据，0≤k≤1000000，1≤n≤1000000000。

题解：

n个人当中有k个人拿到的一定不是自己的作业，我们只需要考虑k个人没有拿到自己作业的情况，所以我们可以先来一个dp数组储存到k的全错排列。动规方程是：dp[i]=(i-1)*dp[i-1]+(i-1)*dp[i-2](dp[i]代表i个人，全部拿到的不是自己作业的种类数)。

动规方程来源：

有一种情况是：假如当前有i个人，我们可以假设前i-1个人拿到的全都不是自己的作业，那么第i个人拿到的一定是自己的作业，所以我们可以让第i个人的作业与前i-1任意一个人的作业进行交换，就是(i-1)dp[i-1]。

还有一种情况：就是假设前i-1个人中有1个人拿到自己的作业，也就是说第i个人一定要与拿到自己的作业的人的作业进行交换，这样算出来就是(i-1)dp[i-2]。

以上两种情况构成了所有的情况，所以我们可以得到dp方程：dp[i]=(i-1)*dp[i-1]+(i-1)*dp[i-2]

我们需要从n个人中选取k个人拿到的不是自己的作业，对于每一次选取，都有dp[k]种情况，所以最后答案是dp[k]*C(n,k)。

但是由于数据比较大，在处理C(n,k)的时候应该用卢卡斯定理。

以下是代码：

#include<iostream>
#define MAXN 1000000+10 
using namespace std;
const int mod=10007;
int qp_mod(int x,int n){
    int b=1;
    while(n>0){
        if(n&1)b=b*x%mod;
        x=x*x%mod;
        n>>=1;
    }
    return b;
}
int comb(int n,int m){
    if(m>n)return 0;
    if(m==n)return 1;
    int M=1;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        i%=mod;
        M=M*i%mod;
    }
    M=qp_mod(M,mod-2);
    for(int i=n;i>=n-m+1;i--){
        i%=mod;
        M=M*i%mod;
    }
    return M;
}
int Lucas(int n,int m){
    int ans=1;
    while(n&&m&&ans){
        ans=ans*comb(n%mod,m%mod)%mod;
        n/=mod;m/=mod;
    }
    return ans;
}
int n,k;
int dp[MAXN];
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    if(k==0){
        cout<<1;
        return 0;
    }
    dp[1]=0;dp[2]=1;
    for(int i=3;i<=k;i++){
        dp[i]=(i-1)%mod*((dp[i-1]+dp[i-2])%mod)%mod;
    }
    cout<<Lucas(n,k)*dp[k]%mod;
}