1.3.2 空间复杂度

算法效率的度量

目录

• 算法效率的度量
  • 空间复杂度
    • 空间复杂度的计算
      • 例1 与问题规模无关
      • 例2 与问题规模有关
      • 例3 递归算法
    • 常见空间复杂度

空间复杂度

问题规模n与内存开销的关系，空间复杂度用 S(n) 表示，S 即 space，其值使用大O表示法：O(n)

空间复杂度与算法所需的数据量有关，而与算法结构(顺序、分支和循环)无关，因为算法代码总是占用一块固定大小的内存，而数据是动态变化的，需要足够的内存来存放。

空间复杂度的计算

例1 与问题规模无关

void print_star(int n){
	int i=0;
    while(i<n){
        printf("* ");
    }
}

对于与问题规模无关的算法：S(n) = O(1)

例2 与问题规模有关

void demo(int n){
    int a[n];
    int i;
}

• 变量 a 所占内存与问题规模 n 有关，假设整个函数占用内存大小为 C，int 类型为 4 B。则该算法的空间复杂度 S(n) = 4n+4+C。
• 当 n -> ∞, (4n+4+C)/n=4，S(n) 与 n 的同阶，故该算法空间复杂度为 S(n) = O(n)。

void demo(int n){
    int a[n][n];
    int i;
}

• S(n) = O(n²)

void demo(int n){
    int a[n][n];
    int b[n];
}

• S(n) = O(n²) + O(n) = O(n²)

例3 递归算法

// n 与数据量无关
void print_star(int n){
    int i;
    if (n>1){
        print_star(n-1);
    }
    printf("* ");
}

// n 与数据量有关
void print_star2(int n){
    int i[n];
    if (n>1){
        print_star(n-1);
    }
    printf("* ");
}

• 递归算法，调用自身时并不会再复制一份函数代码，只是创建执行函数代码所需的所有变量。随着递归层数的增加，算法创建的变量越多，内存开销越大。

设函数代码占用内存大小为 C, int 为 4 字节.

• 当 问题规模 n 不影响数据量，S(n) = C + 8n, 算法的空间复杂度S(n) = O(n)

• 当 问题规模 n 与数据量有关， S(n) = C + 4n + (1+2+3+…+n)=n(1+n)/2 +4n+C = n²/2 + 9n/2 + C, 算法的空间复杂度 S(n) = O(n²)。

常见空间复杂度

由小到大排列：

O(1) < O(log₂n)< O(n) < O(nlog₂n)< O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)