【模板】费马小定理

C~K的难题：费马小定理+快速幂

Problem Description

众所周知 C~K 喜欢数学，但是他最近被一个题给难住了，题目是这样的。
要求 (A/B)%10007，但由于 A 很大，我们只给出 n (n = A%10007)（我们给定的A必能被B整除，且 gcd(B,10007) = 1）。
你能帮助他解答吗？他会很感谢你的。

Input

数据的第一行是一个 T，表示有 T 组数据。
每组数据有两个数 n (0 <= n < 10007) 和 B (1 <= B <= 10^9)。

Output

对应每组数据输出 (A/B)%10007。

Sample Input

2
1000 53
87 123456789

Sample Output

8893
7424

费马小定理： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p） 两边都mod p；
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

取余操作的加减乘除：

\[(a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p \]

\[(a-b)\%p=(a\%p-b\%p)\%p \]

\[(a*b)\%p=((a\%p)*(b\%p))\%p \]

\[(a/b)\%p=(a*b^{-1}\%p)\%p \]

\[(a^b)\%p=((a\%p)^b)\%p \]

延伸公式1：

\[(n*a^{p-1})\%p=n\%p \]

延伸公式2：

\[(a^{p-2})\%p=a^{-1}\%p \]

延伸公式3：

\[a^b\%p=a^{b\%(p-1)}\%p \]

题目解法：令k=A/B

\[(A/B)\%p=k\%p \]

\[=k*B^{p-1}）\%p \]

\[=(A*B^{p-2})\%p \]

\[=[(A\%p)*(B^{p-2})\%p]\%p \]

\[=[n*(B^{p-2})]\%p \]

第二行：延伸公式1的逆用，只要公式里的a与p互质即可，因为题目中的B与p互质,所以可以用题目中的B来代替公式中的a。

第三行：把k化简开，化成A/B

第四行：取余乘法的分配律

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

int qmi(ll a, ll b, ll mod) {   //快速幂
	ll flag = 1;
	while (b) {
		if (b & 1)flag = (flag*a) % mod;
		a = (a*a) % mod;
		b = b >> 1;
	}
	return flag%mod;
}

int main() {
	int t, n, b,mod=10007;
	cin >> t;
	while (t--) {
		cin >> n >> b;
		cout << n*qmi(b, mod-2, mod) % mod << "\n";
	}
	return 0;
}