大学物理下笔记

电荷和场

关键方程

说明	方程
Coulomb's law 库仑定律	$\vec{\mathbf{F}}_{12} = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q_1q_2}{r_{12}^2}\hat{\mathbf{r}}_{12}$
无限导线的电场	$\vec{\mathbf{E}}(z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2\lambda}{z}\hat{\mathbf{k}}$
无限平面的电场	$\vec{\mathbf{E}}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat{\mathbf{k}}$
电偶极矩 Electric Dipole moment	$\vec{\mathbf{p}}=q\vec{\mathbf{d}}$
外部电场中电偶极子上的扭矩 Torque	$\vec{\mathbf{\tau}}=\vec{\mathbf{p}}\times\vec{\mathbf{E}}$

电偶极子(Electric dipoles)

偶极矩 定义为: $\vec{p} = q\vec{d}$，其中 $q$ 为电荷量，$\vec{d}$ 为电荷间距
外部电场中偶极子上的扭矩为: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$，其中 $\vec{E}$ 为电场强度

电偶极子的电场为: $\vec{E} = \dfrac{-1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{\vec{p}}{r^3}\right)$

高斯定律

关键方程

说明	方程
均匀电场的电通量 flux	$\Phi = \vec{\mathbf{E}}\cdot\vec{\mathbf{A}}$
通过开放曲面的电通量	$\Phi = \displaystyle\int_{S} \vec{\mathbf{E}}\cdot\hat{\mathbf{n}}dA = \displaystyle\int_{S} \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{A}}$
通过封闭曲面的电通量	$\Phi = \displaystyle\oint_{S} \vec{\mathbf{E}}\cdot\hat{\mathbf{n}}dA = \displaystyle\oint_{S} \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{A}}$
高斯定律	$\displaystyle\oint_{S} \vec{\mathbf{E}}\cdot \hat{\mathbf{n}}dA = \dfrac{q_{enc}}{\varepsilon_0}$
导体表面外的电场	$E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$

电势

关键方程

说明	方程
双电荷系统的势能	$\displaystyle U(r) = k\dfrac{q_1q_2}{r}$
电势差	$\Delta V = \dfrac{\Delta U}{q}$
电势	$\displaystyle V=\dfrac{U}{q} = -\int_{R}^{P} \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}}$
两点之间的电势差	$\displaystyle V_{BA} = -\int_{A}^{B} \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}} = V_B - V_A$
点电荷的电势	$\displaystyle V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r} = \dfrac{kq}{r}$
电偶极矩	$\vec{\mathbf{p}}=q\vec{\mathbf{d}}$
电偶极子的电势	$\displaystyle V = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$ = $k\dfrac{\vec{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$
连续电荷分布的电势	$\displaystyle V_P = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int \dfrac{dq}{r} = k\displaystyle\int \dfrac{dq}{r}$
电场作为电势梯度	$\vec{\mathbf{E}} = -\vec{\mathbf{\nabla}}V$
笛卡尔坐标中的 Nabla 算子	$\vec{\mathbf{\nabla}} = \hat{\mathbf{i}}\dfrac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{j}}\dfrac{\partial}{\partial y} + \hat{\mathbf{k}}\dfrac{\partial}{\partial z}$
柱坐标中的 Nabla 算子	$\vec{\mathbf{\nabla}} = \hat{\mathbf{r}}\dfrac{\partial}{\partial r} + \hat{\mathbf{\theta}}\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\mathbf{k}}\dfrac{\partial}{\partial z}$
球坐标中的 Nabla 算子	$\vec{\mathbf{\nabla}} = \hat{\mathbf{r}}\dfrac{\partial}{\partial r} + \hat{\mathbf{\theta}}\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial}{\partial \theta} + \hat{\mathbf{\varphi}}\dfrac{1}{r\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \varphi}$

电容

关键方程

说明	方程
电容 Capacitance	$\displaystyle C = \dfrac{Q}{V}$
平行板电容器(parallel-plate capacitor)的电容	$\displaystyle C = \dfrac{\sigma A}{Ed} = \varepsilon_0\dfrac{ A}{d}$
真空球形电容器(vacuum spherical capacitor)的电容	$\displaystyle C = 4\pi\varepsilon_0\dfrac{R_1R_2}{R_2-R_1}$
真空圆柱体电容器(vacuum cylindrical capacitor)的电容	$\displaystyle C = 2\pi\varepsilon_0\dfrac{l}{\ln\dfrac{R_2}{R_1}}$
串联电容器的电容	$\displaystyle \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2} + \cdots + \dfrac{1}{C_n}$
并联电容器的电容	$\displaystyle C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n$
能量密度	$\displaystyle u_E = \dfrac{1}{2}\varepsilon_0E^2$
电容器的能量	$\displaystyle U_C = \dfrac{1}{2}CV^2 = \dfrac{1}{2}QV = \dfrac{1}{2}\dfrac{Q^2}{C}$
带电介质的电容器电容	$\displaystyle C = \kappa C_0$
带电介质的电容器能量	$\displaystyle U = \dfrac{1}{\kappa}U_0$
介电常数 Dielectric constant	$\displaystyle \kappa = \dfrac{E_0}{E}$
电介质中的感应电场	$\displaystyle \vec{\mathbf{E}}_i=(\dfrac{1}{\kappa}-1)\vec{\mathbf{E}}_0$

易错问题

如图，一个金属板插入两个电容器板中，此时计算电容应该直接忽略中间的金属导体高度，答案为

\[C = \varepsilon_0\dfrac{A}{d_1+ \]

电流和电阻

关键方程

说明	方程
电流	$\displaystyle I = \dfrac{dQ}{dt}$
漂移速度 drift velocity	$\displaystyle v_d = \dfrac{I}{nqA}$
电流密度	$\displaystyle I = \iint \vec{\mathbf{J}}\cdot d\vec{\mathbf{A}}$
电阻率 resistivity	$\displaystyle \rho = \dfrac{E}{J} = \dfrac{E}{\sigma E} = \dfrac{1}{\sigma}$
电阻率和温度的关系	$\displaystyle \rho = \rho_0[1+\alpha(T-T_0)]$
电阻	$\displaystyle R = \rho \dfrac{L}{A} \equiv \dfrac{V}{I}$

直流电路

关键方程

说明	方程
路端电压	$\displaystyle V_{terminal} = \varepsilon - Ir_{eq}$
交汇点原则 Junction rule	$\displaystyle \sum I_{in} = \sum I_{out}$
循环原则 Loop rule	$\displaystyle \sum V_{loop} = 0$
时间常数	$\tau = RC$
电容器充电的电荷	$q(t) = C\varepsilon(1-e^{-\frac{t}{RC}}) = Q(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$
电容器放电的电荷	$q(t) = Qe^{-\frac{t}{RC}} = Qe^{-\frac{t}{\tau}}$
电容器放电的电流	$I(t) = \dfrac{dq}{dt} = -\dfrac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{RC}} = -\dfrac{Q}{RC}e^{-\frac{t}{\tau}}$

磁力和磁场

关键方程

说明	方程
洛伦兹力	$\displaystyle \vec{\mathbf{F}} = q(\vec{\mathbf{v}}\times\vec{\mathbf{B}})$
粒子在磁场中的路径半径	$\displaystyle r = \dfrac{mv}{qB}$
粒子在磁场中的运动周期	$\displaystyle T = \dfrac{2\pi m}{qB}$
均匀磁场中载流直导线受力	$\displaystyle \vec{\mathbf{F}} = I\vec{\mathbf{l}}\times\vec{\mathbf{B}}$
磁偶极矩 magnetic dipole moment	$\displaystyle \vec{\mathbf{\mu}} = NIA\hat{\mathbf{n}}$
电流环路上的扭矩	$\displaystyle \vec{\mathbf{\tau}} = \vec{\mathbf{\mu}}\times\vec{\mathbf{B}}$
磁偶极子的能量	$\displaystyle U = -\vec{\mathbf{\mu}}\cdot\vec{\mathbf{B}}$
霍尔电位	$\displaystyle V = \dfrac{IBl}{neA} = Blv_d$
质谱仪中的电荷质量比	$\displaystyle \dfrac{q}{m} = \dfrac{E}{BB_0R}$
回旋加速器中的粒子最大速度	$\displaystyle v_{max} = \dfrac{qBR}{m}$

磁场的来源

关键方程

说明	方程
Biot-Savart 定律	$\displaystyle \vec{\mathbf{B}} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int \dfrac{Id\vec{\mathbf{l}}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}$
长直导线的磁场	$\displaystyle \vec{\mathbf{B}} = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\hat{\mathbf{\theta}}$
平行电流之间的力	$\displaystyle \dfrac{F}{l} = \dfrac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}$
电流环路中心的磁场	$\displaystyle B = \dfrac{\mu_0I}{2R}$
安培环路定理	$\displaystyle \oint \vec{\mathbf{B}}\cdot d\vec{\mathbf{l}} = \mu_0I_{enc}$
螺线管的磁场	$\displaystyle B = \mu_0nI$
环形管的磁场	$\displaystyle B = \dfrac{\mu_0NI}{2R}$
磁导率	$\displaystyle \mu = (1+\chi)\mu_0$

电磁感应

关键方程

说明	方程
磁通量	$\displaystyle \Phi_m = \int_S \vec{\mathbf{B}}\cdot \hat{\mathbf{n}}dA$
法拉第电磁感应定律	$\displaystyle \varepsilon = -\dfrac{d\Phi_m}{dt}$
动生电动势 Motionally induced emf	$\displaystyle \varepsilon = Blv$
环路运动电动势	$\displaystyle \varepsilon = \oint \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{l}} = -\dfrac{d\Phi_m}{dt}$
发动机产生的电动势	$\displaystyle \varepsilon = NBA\omega\sin\omega t$

电感(Inductance)

关键方程

说明	方程
磁通量互感	$\displaystyle M = \dfrac{N_2\Phi_{21}}{I_1} = \dfrac{N_1\Phi_{12}}{I_2}$
电路中的互感	$\varepsilon_1 = -M\dfrac{dI_2}{dt}$
以磁通量表示的自感	$\displaystyle LI=N\Phi_m$
以电动势表示的自感	$\displaystyle \varepsilon = -L\dfrac{dI}{dt}$
螺线管(solenoid)的自感	$\displaystyle L = \dfrac{\mu_0N^2A}{l}$
环形线圈(toroid)的自感	$\displaystyle L = \dfrac{\mu_0N^2h}{2\pi}\ln\left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)$
电感器的能量	$\displaystyle U = \dfrac{1}{2}LI^2$
RL电路中的I-t关系	$\displaystyle I(t) = \dfrac{\varepsilon}{R}(1-e^{-\frac{t}{\tau_T}})$
RL电路中的时间常数	$\displaystyle \tau_T = \dfrac{L}{R}$
LC电路中的电荷震荡	$\displaystyle q(t) = q_{0}\cos(\omega t + \phi)$
LC电路中的角频率	$\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC}}$
LC电路中的电流震荡	$\displaystyle i(t) = \omega q_{0}\sin(\omega t + \phi)$
RLC电路中的q-t关系	$\displaystyle q(t) = q_{0}e^{-\frac{R}{2L}t}\cos(\omega t + \phi)$
RLC电路中的角频率	$\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC}-\left(\dfrac{R}{2L}\right)^2}$

交流电路

关键方程

说明	方程
交流电压	$\displaystyle v=V_0\sin\omega t$
交流电流	$\displaystyle i=I_0\sin\omega t$
容抗 capacitive reactance	$\displaystyle X_C = \dfrac{1}{\omega C}$
感抗 inductive reactance	$\displaystyle X_L = \omega L$
RLC串联电路的相位角	$\displaystyle \tan\phi = \dfrac{X_L-X_C}{R}$
RLC串联电路的阻抗	$\displaystyle Z = \sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}$
欧姆定律交流版本	$\displaystyle I_0 = \dfrac{V_0}{Z}$
电流的有效值	$\displaystyle I_{rms} = \dfrac{I_0}{\sqrt{2}}$
电压的有效值	$\displaystyle V_{rms} = \dfrac{V_0}{\sqrt{2}}$
电路元件平均功率	$\displaystyle P_{avg} = \dfrac{1}{2}I_0V_0\cos\phi$
电阻器的平均功率	$\displaystyle P_{avg} = \dfrac{1}{2}I_{0}V_{0}=I_{rms}V_{rms}=I_{rms}^2R$
电路的谐振角频率(resonant angular frequency)	$\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\dfrac{1}{LC}}$
电路的品质函数	$\displaystyle Q = \dfrac{\omega_0L}{R} = \dfrac{1}{\omega_0CR}=\dfrac{\omega_0}{\Delta\omega}$
变压器的电压比	$\displaystyle \dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1}$
变压器的电流比	$\displaystyle \dfrac{I_2}{I_1} = \dfrac{N_1}{N_2}$

电磁波

关键方程

说明	方程
位移电流(displacement current)	$\displaystyle I_d = \varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$
高斯定律	$\displaystyle \oint \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{A}} = \dfrac{Q_{in}}{\varepsilon_0}$
高斯磁定律	$\displaystyle \oint \vec{\mathbf{B}}\cdot d\vec{\mathbf{A}} = 0$
法拉第定律	$\displaystyle \oint \vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec{\mathbf{s}} = -\dfrac{d\Phi_m}{dt}$
安培-麦克斯韦定律	$\displaystyle \oint \vec{\mathbf{B}}\cdot d\vec{\mathbf{s}} = \mu_0I_{}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}$
平面电磁波的波动方程	$\displaystyle \dfrac{\partial^2E_y}{\partial x^2} = \varepsilon_0\mu_0\dfrac{\partial^2E_y}{\partial t^2}$
电磁波的速度	$\displaystyle v = \dfrac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} = c$
电磁场中电场和磁场的比值	$\displaystyle \dfrac{E}{B} = c$
能量通量矢量(Poynting vector)	$\displaystyle \vec{\mathbf{S}} = \dfrac{1}{\mu_0}\vec{\mathbf{E}}\times\vec{\mathbf{B}}$
电磁波的平均强度	$\displaystyle I=S_{avg} = \dfrac{c\varepsilon_0}{2}E_{max}^2=\dfrac{c\mu_0}{2}B_{max}^2=\dfrac{E_{max}B_{max}}{2\mu_0}$
完全吸收时的辐射压力	$\displaystyle P = \dfrac{I}{c}$
完全反射时的辐射压力	$\displaystyle P = \dfrac{2I}{c}$