常数项级数
柯西收敛准则
数列 {Sn} 收敛的充分必要条件是:对于任意的 ε>0 ,存在自然数 N ,使得当自然数 n,m>N 时,恒有
|Sn−Sm|<ε
不妨设 m>n ,并记 m=n+p ,则可写为:
数列 {Sn} 收敛 ⇔ ∀ε>0,∃N∈N,∀n>N,|Sn+p−Sn|<ε,p=1,2,⋯
对于级数而言,∞∑n=1un 收敛 ⇔ ∀ε>0,∃N∈N,∀n>N,∣∣
∣∣n+p∑k=n+1uk∣∣
∣∣<ε,p=1,2,⋯
绝对收敛级数
- 绝对收敛级数具有交换律(任意变序级数仍绝对收敛于同一值)
- 黎曼定理: 任意条件收敛级数,通过变换可变为绝对收敛级数且可以收敛于任意值(包括 ∞)
- 柯西乘积: cn=n∑k=0akbn−k ,若 ∞∑n=0an 和 ∞∑n=0bn 绝对收敛,则 ∞∑n=0cn 绝对收敛且 ∞∑n=0cn=(∞∑n=0an)(∞∑n=0bn)
正项级数收敛判别法
比较判别法
设 ∞∑n=1an 和 ∞∑n=1bn 是两个正项级数,若存在自然数 n0 ,使得当 n>n0 时,恒有 an⩽bn ,则有
- 若 ∞∑n=1bn 收敛,则 ∞∑n=1an 收敛
- 若 ∞∑n=1an 发散,则 ∞∑n=1bn 发散
积分判别法
设 f(x) 在 [1,+∞) 上连续,且 f(x)≥0 ,单调递减,则 ∞∑n=1f(n) 和 ∫+∞1f(x)dx 同时收敛或同时发散
阶估法
设 ∞∑n=1an 是正项级数,若
limn→∞npan=limn→∞an1np=l(0≤l≤+∞)
则有(注意 l 的取值)
- 当 0≤l<+∞ 时,若 p>1 ,则 ∞∑n=1an 收敛
- 当 0<l≤+∞ 时,若 p≤1 ,则 ∞∑n=1an 发散
达朗贝尔(D'Alembert)比值判别法
设 ∞∑n=1an 是正项级数,若
limn→∞an+1an=l(0≤l≤+∞)
则当 l<1 时,∞∑n=1an 收敛;当 l>1 时,∞∑n=1an 发散;当 l=1 时,不能判定
柯西(Cauchy)根值判别法
设 ∞∑n=1an 是正项级数,若
limn→∞n√an=l(0≤l≤+∞)
则当 l<1 时,∞∑n=1an 收敛;当 l>1 时,∞∑n=1an 发散;当 l=1 时,不能判定
任意项级数收敛判别法
- 若能判得 ∞∑n=1|un| 收敛,则 ∞∑n=1un 绝对收敛,故收敛
- 若用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法判得 ∞∑n=1|un| 发散,则 ∞∑n=1un 发散(因为此时 limn→∞un≠0 )
对于交错级数(即正负相间),有以下判别法
莱布尼兹(Liebniz)判别法
设 ∞∑n=1(−1)n−1un 是交错级数,若
- un≥un+1
- limn→∞un=0
此外,若级数可以写成 ∞∑n=1un=∞∑n=1anbn ,则有以下两个判别法
狄利克雷判别法
若以下条件满足,则 ∞∑n=1un 收敛
- {an} 单调趋于 0
- ∞∑n=1bn 的部分和数列 {Bn} 有界
阿贝尔判别法
若以下条件满足,则 ∞∑n=1un 收敛
- {an} 单调有界
- ∞∑n=1bn 收敛
广义积分
大部分定义和判别法与级数类似(尤其是无穷积分),下面记几个不同的(主要是无界积分)
柯西收敛准则
设 b 是广义积分 ∫baf(x)dx 的唯一奇点,则上述广义积分收敛等价于 ∀ε>0,∃δ>0,∀t1,t2∈(b−δ,b),∣∣∣∫t2t1f(x)dx∣∣∣<ε
阶估法
对于无界函数的广义积分 ∫baf(x)dx ,若 b 是其唯一奇点,且
limx→b−f(x)1(b−x)p=limx→b−(b−x)pf(x)=l(0≤l≤∞)
(对 a 是唯一奇点的情况,用 x→a+, (x−a)p 代替 (b−x)p 即可),则有
- 当 0≤l<∞ 时,若 p<1 ,则 ∫baf(x)dx 收敛
- 当 0<l≤∞ 时,若 p≥1 ,则 ∫baf(x)dx 发散
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