微积分笔记

常数项级数

柯西收敛准则

数列 {Sn} 收敛的充分必要条件是:对于任意的 ε>0 ,存在自然数 N ,使得当自然数 n,m>N 时,恒有

|SnSm|<ε

不妨设 m>n ,并记 m=n+p ,则可写为:

数列 {Sn} 收敛 ε>0,NN,n>N,|Sn+pSn|<ε,p=1,2,

对于级数而言,n=1un 收敛 ε>0,NN,n>N,|k=n+1n+puk|<ε,p=1,2,

绝对收敛级数

  • 绝对收敛级数具有交换律(任意变序级数仍绝对收敛于同一值)
  • 黎曼定理: 任意条件收敛级数,通过变换可变为绝对收敛级数且可以收敛于任意值(包括 )
  • 柯西乘积: cn=k=0nakbnk ,若 n=0ann=0bn 绝对收敛,则 n=0cn 绝对收敛且 n=0cn=(n=0an)(n=0bn)

正项级数收敛判别法

比较判别法

n=1ann=1bn 是两个正项级数,若存在自然数 n0 ,使得当 n>n0 时,恒有 anbn ,则有

  1. n=1bn 收敛,则 n=1an 收敛
  2. n=1an 发散,则 n=1bn 发散
  • 比较判别法的极限形式
    设当 n 充分大时,恒有 an0bn>0 ,若

    limnanbn=l(0l)

    则有

    1. 0l< 时,n=1bnn=1an 同时收敛或同时发散
    2. l= 时,由 n=1bn 发散可推出 n=1an 发散
    3. l=0 时,由 n=1an 收敛可推出 n=1bn 收敛

积分判别法

f(x)[1,+) 上连续,且 f(x)0 ,单调递减,则 n=1f(n)1+f(x)dx 同时收敛或同时发散

阶估法

n=1an 是正项级数,若

limnnpan=limnan1np=l(0l+)

则有(注意 l 的取值)

  1. 0l<+ 时,若 p>1 ,则 n=1an 收敛
  2. 0<l+ 时,若 p1 ,则 n=1an 发散

达朗贝尔(D'Alembert)比值判别法

n=1an 是正项级数,若

limnan+1an=l(0l+)

则当 l<1 时,n=1an 收敛;当 l>1 时,n=1an 发散;当 l=1 时,不能判定

柯西(Cauchy)根值判别法

n=1an 是正项级数,若

limnann=l(0l+)

则当 l<1 时,n=1an 收敛;当 l>1 时,n=1an 发散;当 l=1 时,不能判定

任意项级数收敛判别法

  1. 若能判得 n=1|un| 收敛,则 n=1un 绝对收敛,故收敛
  2. 若用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法判得 n=1|un| 发散,则 n=1un 发散(因为此时 limnun0 )

对于交错级数(即正负相间),有以下判别法

莱布尼兹(Liebniz)判别法

n=1(1)n1un 是交错级数,若

  1. unun+1
  2. limnun=0

此外,若级数可以写成 n=1un=n=1anbn ,则有以下两个判别法

狄利克雷判别法

若以下条件满足,则 n=1un 收敛

  1. {an} 单调趋于 0
  2. n=1bn 的部分和数列 {Bn} 有界

阿贝尔判别法

若以下条件满足,则 n=1un 收敛

  1. {an} 单调有界
  2. n=1bn 收敛

广义积分

大部分定义和判别法与级数类似(尤其是无穷积分),下面记几个不同的(主要是无界积分)

柯西收敛准则

b 是广义积分 abf(x)dx 的唯一奇点,则上述广义积分收敛等价于 ε>0,δ>0,t1,t2(bδ,b),|t1t2f(x)dx|<ε

阶估法

对于无界函数的广义积分 abf(x)dx ,若 b 是其唯一奇点,且

limxbf(x)1(bx)p=limxb(bx)pf(x)=l(0l)

(对 a 是唯一奇点的情况,用 xa+(xa)p 代替 (bx)p 即可),则有

  1. 0l< 时,若 p<1 ,则 abf(x)dx 收敛
  2. 0<l 时,若 p1 ,则 abf(x)dx 发散
posted @   520Enterprise  阅读(46)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 使用C#创建一个MCP客户端
· ollama系列1:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· 按钮权限的设计及实现
点击右上角即可分享
微信分享提示