微积分笔记

常数项级数

柯西收敛准则

数列 $\{S_n\}$ 收敛的充分必要条件是：对于任意的 $\varepsilon>0$ ，存在自然数 $N$ ，使得当自然数 $n,m>N$ 时，恒有

$$|S_n-S_m|<\varepsilon$$

不妨设 $m>n$ ，并记 $m=n+p$ ，则可写为:

数列 $\{S_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon>0, \exist N \in \mathbb{N} , \forall n>N, |S_{n+p}-S_n|<\varepsilon, p=1,2,\cdots$

对于级数而言，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon>0, \exist N \in \mathbb{N} , \forall n>N, \left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k \right|<\varepsilon, p=1,2,\cdots$

绝对收敛级数

• 绝对收敛级数具有交换律(任意变序级数仍绝对收敛于同一值)
• 黎曼定理: 任意条件收敛级数，通过变换可变为绝对收敛级数且可以收敛于任意值(包括 $\infty$)
• 柯西乘积: $c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ ，若 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} b_n$ 绝对收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ 绝对收敛且 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n=\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} b_n\right)$

正项级数收敛判别法

比较判别法

设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 是两个正项级数，若存在自然数 $n_0$ ，使得当 $n>n_0$ 时，恒有 $a_n \leqslant b_n$ ，则有

1. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
2. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散

• 比较判别法的极限形式
  设当 $n$ 充分大时，恒有 $a_n\geq 0$ ，$b_n> 0$ ，若

  $$lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l (0\leq l\leq \infty)$$

  则有

  1. 当 $0\leq l<\infty$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 和 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 同时收敛或同时发散
  2. 当 $l=\infty$ 时，由 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散可推出 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散
  3. 当 $l=0$ 时，由 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛可推出 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛

积分判别法

设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，且 $f(x)\geq 0$ ，单调递减，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 和 $\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 同时收敛或同时发散

阶估法

设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是正项级数，若

$$\lim_{n \to \infty} n^p a_n=\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n^p}}=l (0\leq l\leq +\infty)$$

则有(注意 $l$ 的取值)

1. 当 $0\leq l< +\infty$ 时，若 $p>1$ ，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
2. 当 $0<l\leq +\infty$ 时，若 $p\leq 1$ ，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散

达朗贝尔(D'Alembert)比值判别法

设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是正项级数，若

$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=l (0\leq l\leq +\infty)$$

则当 $l<1$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；当 $l>1$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散；当 $l=1$ 时，不能判定

柯西(Cauchy)根值判别法

设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 是正项级数，若

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=l (0\leq l\leq +\infty)$$

则当 $l<1$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；当 $l>1$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散；当 $l=1$ 时，不能判定

任意项级数收敛判别法

1. 若能判得 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛，故收敛
2. 若用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法判得 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|$ 发散，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散(因为此时 $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$ )

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对于交错级数(即正负相间)，有以下判别法

莱布尼兹(Liebniz)判别法

设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 是交错级数，若

1. $u_n \geq u_{n+1}$
2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n=0$

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此外，若级数可以写成 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n$ ，则有以下两个判别法

狄利克雷判别法

若以下条件满足，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

1. $\{a_n\}$ 单调趋于 $0$
2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 的部分和数列 $\{B_n\}$ 有界

阿贝尔判别法

若以下条件满足，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛

1. $\{a_n\}$ 单调有界
2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛

广义积分

大部分定义和判别法与级数类似(尤其是无穷积分)，下面记几个不同的(主要是无界积分)

柯西收敛准则

设 $b$ 是广义积分 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 的唯一奇点，则上述广义积分收敛等价于 $\forall \varepsilon>0, \exist \delta>0, \forall t_1, t_2 \in (b-\delta, b), \left|\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon$

阶估法

对于无界函数的广义积分 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，若 $b$ 是其唯一奇点，且

$$\lim_{x \rightarrow b^-} \dfrac{f(x)}{\dfrac{1}{(b-x)^p}} = \lim _{x \rightarrow b^-} (b-x)^{p}f(x)=l (0 \leq l \leq \infty)$$

(对 $a$ 是唯一奇点的情况，用 $x \rightarrow a^+$， $(x-a)^p$ 代替 $(b-x)^p$ 即可)，则有

1. 当 $0 \leq l<\infty$ 时，若 $p<1$ ，则 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
2. 当 $0<l \leq \infty$ 时，若 $p \geq 1$ ，则 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 发散