微积分笔记

常数项级数

柯西收敛准则

数列 \(\{S_n\}\) 收敛的充分必要条件是：对于任意的 \(\varepsilon>0\) ，存在自然数 \(N\) ，使得当自然数 \(n,m>N\) 时，恒有

\[|S_n-S_m|<\varepsilon \]

不妨设 \(m>n\) ，并记 \(m=n+p\) ，则可写为:

数列 \(\{S_n\}\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall \varepsilon>0, \exist N \in \mathbb{N} , \forall n>N, |S_{n+p}-S_n|<\varepsilon, p=1,2,\cdots\)

对于级数而言，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛 \(\Leftrightarrow\) \(\forall \varepsilon>0, \exist N \in \mathbb{N} , \forall n>N, \left|\displaystyle\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k \right|<\varepsilon, p=1,2,\cdots\)

绝对收敛级数

• 绝对收敛级数具有交换律(任意变序级数仍绝对收敛于同一值)
• 黎曼定理: 任意条件收敛级数，通过变换可变为绝对收敛级数且可以收敛于任意值(包括 \(\infty\))
• 柯西乘积: \(c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\) ，若 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n\) 和 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} b_n\) 绝对收敛，则 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n\) 绝对收敛且 \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} c_n=\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n\right)\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} b_n\right)\)

正项级数收敛判别法

比较判别法

设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 和 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 是两个正项级数，若存在自然数 \(n_0\) ，使得当 \(n>n_0\) 时，恒有 \(a_n \leqslant b_n\) ，则有

1. 若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛
2. 若 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 发散

• 比较判别法的极限形式
  设当 \(n\) 充分大时，恒有 \(a_n\geq 0\) ，\(b_n> 0\) ，若

  \[lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l (0\leq l\leq \infty) \]

  则有

  1. 当 \(0\leq l<\infty\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 和 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 同时收敛或同时发散
  2. 当 \(l=\infty\) 时，由 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 发散可推出 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散
  3. 当 \(l=0\) 时，由 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛可推出 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛

积分判别法

设 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上连续，且 \(f(x)\geq 0\) ，单调递减，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\) 和 \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x\) 同时收敛或同时发散

阶估法

设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 是正项级数，若

\[\lim_{n \to \infty} n^p a_n=\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n^p}}=l (0\leq l\leq +\infty) \]

则有(注意 \(l\) 的取值)

1. 当 \(0\leq l< +\infty\) 时，若 \(p>1\) ，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛
2. 当 \(0<l\leq +\infty\) 时，若 \(p\leq 1\) ，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散

达朗贝尔(D'Alembert)比值判别法

设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 是正项级数，若

\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=l (0\leq l\leq +\infty) \]

则当 \(l<1\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛；当 \(l>1\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散；当 \(l=1\) 时，不能判定

柯西(Cauchy)根值判别法

设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 是正项级数，若

\[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}=l (0\leq l\leq +\infty) \]

则当 \(l<1\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 收敛；当 \(l>1\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 发散；当 \(l=1\) 时，不能判定

任意项级数收敛判别法

1. 若能判得 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|\) 收敛，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 绝对收敛，故收敛
2. 若用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法判得 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} |u_n|\) 发散，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 发散(因为此时 \(\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0\) )

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对于交错级数(即正负相间)，有以下判别法

莱布尼兹(Liebniz)判别法

设 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n\) 是交错级数，若

1. \(u_n \geq u_{n+1}\)
2. \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n=0\)

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此外，若级数可以写成 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n $ ，则有以下两个判别法

狄利克雷判别法

若以下条件满足，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛

1. \(\{a_n\}\) 单调趋于 \(0\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 的部分和数列 \(\{B_n\}\) 有界

阿贝尔判别法

若以下条件满足，则 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n\) 收敛

1. \(\{a_n\}\) 单调有界
2. \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} b_n\) 收敛

广义积分

大部分定义和判别法与级数类似(尤其是无穷积分)，下面记几个不同的(主要是无界积分)

柯西收敛准则

设 \(b\) 是广义积分 \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 的唯一奇点，则上述广义积分收敛等价于 \(\forall \varepsilon>0, \exist \delta>0, \forall t_1, t_2 \in (b-\delta, b), \left|\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon\)

阶估法

对于无界函数的广义积分 \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) ，若 \(b\) 是其唯一奇点，且

\[\lim_{x \rightarrow b^-} \dfrac{f(x)}{\dfrac{1}{(b-x)^p}} = \lim _{x \rightarrow b^-} (b-x)^{p}f(x)=l (0 \leq l \leq \infty) \]

(对 \(a\) 是唯一奇点的情况，用 \(x \rightarrow a^+\)， \((x-a)^p\) 代替 \((b-x)^p\) 即可)，则有

1. 当 \(0 \leq l<\infty\) 时，若 \(p<1\) ，则 \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 收敛
2. 当 \(0<l \leq \infty\) 时，若 \(p \geq 1\) ，则 \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\) 发散