[AGC001E] BBQ Hard题解

Problem

[AGC001E] BBQ Hard

计算:

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+b_i+a_j+b_j}{a_i+a_j}$$

其中$n \leq 2 \times 10^5$，$a_i,b_i \leq 2000$

Solution

以$a_i$代$a_i+b_i$则等价于求

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^n\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}$$

考虑使得式子变得更加对称，我们可以不限制$i,j$的相对大小，之后减去$i=j$的情况再除以$2$即可。

$$\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = i + 1}^{n}\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}= \dfrac{1}{2}\left( \sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}-\sum_{i = 1}^{n}\binom{2a_i}{2b_i}\right)$$

问题转化为求

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j}$$

代数法

推导过程

考虑将$i,j$拆开分别计算贡献，可以联想到Vandermonde卷积
于是原式转换为

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\binom{a_i+a_j}{b_i+b_j} &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\sum_k\binom{a_i}{b_i-k}\binom{a_j}{b_j+k} \\ &=\sum_k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\binom{a_i}{b_i-k}\binom{a_j}{b_j+k} \\ &=\sum_k\left(\sum_{i=1}^{n}\binom{a_i}{b_i-k}\right)\left(\sum_{j=1}^n\binom{a_j}{b_j+k}\right) \\ &=\sum_{k}F(k)F(-k) \end{aligned}$$

其中$F(k)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\binom{a_i}{b_i+k}$

然后我们容易想到一个$O(na)$的做法，那就是直接计算$F(k)$，注意由于$k$的范围是$[-2000,2000]$，所以我们需要将$k$平移至$[0,4000]$，这样就可以用一个数组来存储$F(k)$了。

for (int k = mink; k <= maxk; ++k) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (k + b[i] >= 0 && k + b[i] <= a[i]) {
            F[k + SHIFT] = (F[k + SHIFT] + C[a[i]][k + b[i]]) % MOD;
        }
    }
}

优化

这个也许卡卡常就能过了，但是我们尝试去追求更好的时间复杂度
事实上，我们利用生成函数的相关知识，有

$$\begin{aligned} F(k)&=\sum_{i=1}^n\binom{a_i}{b_i+k}\\ &= \sum_{i=1}^n(1+x)^{a_i}[x^{b_i+k}]\\ &=[x^k]\sum_{i=1}^n(1+x)^{a_i}x^{-b_i}\\ &=[x^{k+SHIFT}]\sum_{i=1}^n(1+x)^{a_i}x^{-b_i+SHIFT}\\ &=[x^{k+SHIFT}]\sum_{A}(1+x)^A\sum_{i,a_i=A}x^{-b_i+SHIFT} \end{aligned}$$

其中$[x^i]$表示$x^i$项的系数。
则我们只需要求出

$$\sum_{A}(1+x)^A\sum_{i,a_i=A}x^{-b_i+SHIFT}$$

这个式子可以用秦九韶算法来求，复杂度降低至$O(a^2)$

for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    bInA[a[i]].push_back(-b[i] + SHIFT);
}
for (int i = maxa; i >= 0; --i) {
    for (int k = 2* SHIFT; k >= 1; --k) {
        F[k] = (F[k] + F[k - 1]) % MOD;
    }
    for (auto bInAi : bInA[i]) {
        F[bInAi] = (F[bInAi] + 1) % MOD;
    }
}

完整代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int MAX_N = 200005, MOD = 998244353, MAX_A = 4000 + 5, SHIFT = 2000;
int ans, n, a[MAX_N], b[MAX_N], maxa, C[MAX_A][MAX_A], mink, maxk;
int fac[MAX_A * 2], inv[MAX_A * 2], invfac[MAX_A * 2];
int F[MAX_A];//from -2000 to 2000, 加上基数2000
int binom(int n, int k) {
    if (n < k) {
        return 0;
    }
    return 1ll * fac[n] * invfac[k] % MOD * invfac[n - k] % MOD;
}
vector<int> bInA[MAX_A];
signed main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i] >> b[i];
        a[i] += b[i];
        maxa = max(maxa, a[i]);
        mink = min(mink, -b[i]);
        maxk = max(maxk, a[i] - b[i]);
    }
    for (int i = 0; i <= maxa; ++i) {
        C[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; ++j) {
            C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % MOD;
        }
    }
    /*for (int k = mink; k <= maxk; ++k) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (k + b[i] >= 0 && k + b[i] <= a[i]) {
                F[k + SHIFT] = (F[k + SHIFT] + C[a[i]][k + b[i]]) % MOD;
            }
        }
    }*/
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        bInA[a[i]].push_back(-b[i] + SHIFT);
    }
    for (int i = maxa; i >= 0; --i) {
        for (int k = 2* SHIFT; k >= 1; --k) {
            F[k] = (F[k] + F[k - 1]) % MOD;
        }
        for (auto bInAi : bInA[i]) {
            F[bInAi] = (F[bInAi] + 1) % MOD;
        }
    }

    for (int k = mink; k <= maxk; ++k) {
        ans = (ans + 1ll * F[k + SHIFT] * F[-k + SHIFT] % MOD) % MOD;
    }
    fac[0] = inv[0] = invfac[0] = 1;
    fac[1] = inv[1] = invfac[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= maxa * 2; ++i) {
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % MOD;
        inv[i] = 1ll * (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;
        invfac[i] = 1ll * invfac[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        ans = (ans - binom(2 * a[i], 2 * b[i]) + MOD) % MOD;
    }
    ans = 1ll * ans * inv[2] % MOD;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

组合意义法

我们可以把这个值看做在网格图上的一点$(−a[i],−b[i])$走到$(a[j],b[j])$的方案数。
而网格图走的方案数可以直接递推得到。
那么我们对于每个点把它的坐标取反到第三象限，然后对于整个坐标系计算走到每一个格子的总方案。

递推式与网格路径完全相同

f[i][j] = (1ll * f[i][j] + f[i - 1][j] + f[i][j - 1]) % MOD;

需要注意的是初始条件

for(int i = 1; i <= n; i++){
    f[SHIFT - a[i]][SHIFT - b[i]]++;
}