关于m与n互质-构成的矩阵的特性及证明

在网上看到很多证明欧拉函数是积性函数的证明，其中一部分就使用到了矩阵的方式加以证明

当然笔者并没有完全理解到整个证明过程，于是只是将其中的部分m与n互质-构成的矩阵的特性说明记录如下

如果m与n互质，那么就可以构成如下的m列与n行的矩阵，这个矩阵里列举了从1到m*n的所有数，

 

1、先从每一行观察（刚好是模m的一个完全剩余系）：

很容易发现第一行里有φ(m)个与 m 互质的数

而一个数 r 若与 m 互质，则 k * m + r也与m互质-（可通过欧几里得算法又称辗转相除法证得）, 因此每一行都会有φ(m)个与 m 互质的数

即每一行的m个数组成的集合，刚好是模m的一个完全剩余系，这里补充一下完全剩余系的概念

从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。完全剩余系常用于数论中存在性证明。

 

2、再从每一列观察（刚好是模n的一个完全剩余系）

先说结论，任意一列都是模n的完全剩余系，也就是说没有两个数他们对 n 取模后相等，

那么任意一列都有φ(n)个与n互质的数，那么就能推导出φ(n)*φ(m)便等于φ(n*m) 

这里所以为什么任意一列都是 n 的完全剩余系呢？，先证明如下

首先我们假设有两个数对n取余后相等：k1*m+b = k2*m+b (mod n)，那么我们可以改写为k1*m+b = t1*n+r ; k2*m+b= t2*n+r,

两两相减则： (k1-k2)m = (t1-t2)n，又因为m和n互质，所以m不能提供n的因数，那么（k1-k2)就必然是n的倍数了（所以最开始才要求m和n必须互质）

然后又因为k1和k2都是在0~n-1这个范围里的，所以任意两个相减都不会产生n的倍数，那么假设不成立，没有两个数对n取余后相等，证毕

 

 

 

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