关于同余定理的证明及反向推导

首页说一下同余定理的概念与定义：

给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)

对模m同余是整数的一个等价关系。 

 

证明过程：已经的条件是 m|(a-b)，即a-b能被m整除，证明a≡b(mod m) 

设 a=mq1+r1, b=mq2+r2, 0<=r1,r2<m (因为r1,r2代表的是余数，因为需要小于除数m的)，

∵ m|(a-b)   则有 a-b=m(q1-q2)+(r1-r2)
根据已知条件，则有 m|(r1-r2)
∵0<=r1,r2<m
∴0<=|r1-r2|<m
又 ∵ m|(r1-r2)
# 如果 r1 > r2 ，那么r1-r2 肯定也是小于ｍ的，不可能被 m 整除，故 r1 > r2的可能性不存在
# 如果 r1 < r2， 因为r1和r2 都是正数，那么-r2 <=(r1-r2)< 0 , 因此可以推出 -m < r1-r2 < 0 ,因此也可能被m整除，故 r1<r2 的可能性也不存在
# 因此 r1-r2 要能被 m 整除，其值就只能是 0 
即可以得到，r1-r2=0 
∴r1=r2

因此可以得到最后的a≡b(mod m) ，另外，其实反过来也是成立的，即 a≡b(mod m)  成立 ，也能逆向推导出m|(a-b)，这个很好推导

因为a与b对模m同余，a/m-b/m会将余数部分抵消掉，结果自然也能被m整除

 

剩余一点疑问，有时间再研究，如负数的求余问题，如 5| 4-(-1)， 这样 4 ≡ -1(mod 5) ,

我们可以知道4 mod 5 = 4 ,那么 -1 mod 5 到底应该等于-1还是4呢、笔者通过python计算出来，确实也是4,而不是-1 

C:\Users\QQ5201351>python
Python 3.10.5 (tags/v3.10.5:f377153, Jun 6 2022, 16:14:13) [MSC v.1929 64 bit (AMD64)] on win32
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>>> -1 % 5
4

 

 

 

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