【10-24模拟赛T1】Alice 和璀璨花

著名的植物学家 Alice 经过多年的探索，终于找到了传说中的璀璨花。璀璨花的生长速度非常迅猛，如果不加以合适的控制，璀璨花会因为过度内耗而死亡。璀璨花的生长趋势可以用序列 $a$ 表示，Alice 在研读前人对璀璨花的研究后总结出了一个控制序列 $b$。Alice 需要让璀璨花的生长趋势尽可能贴合控制序列，这样璀璨花就能尽可能快且安全地生长，以让更多人能欣赏到传说花卉的美。

Alice 可以通过基因编辑技术让 $a$ 的任意子序列 $a^{\prime }$ 成为璀璨花的生长趋势，设 $a^{\prime }$ 的长度为 $n^{\prime }$，若 $\mathrm{\forall }i\in [1,n^{\prime }-1],a_{i+1}^{\prime }>b_i{a}_i^{\prime }$，那么璀璨花的培育趋势就是安全的。另外，越长的生长趋势能让成熟的璀璨花更美，所以 Alice 想知道可能的最长的璀璨花生长趋势子序列的长度。

设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数中选 $j$ 个数的最小结尾，可以得出转移方程：

• 若 $a_i>d{p}_{i-1,j-1}{b}_{j-1}$，那么 $d{p}_{i,j}=min(a_i,d{p}_{i-1,j})$。

• 若 $a_i\le d{p}_{i-1,j-1}{b}_{j-1}$，那么 $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}$。

显然可以用滚动数组压掉一维。

但转移还是 $O(n^2)$ 的，考虑到 $d{p}_{i-1}$ 是单调不减的，我们 lower_bound 一个位置 $p$，满足 $d{p}_{i-1,p-1}<a_i$，$d{p}_{i-1,p}\ge a_i$
，发现 $\mathrm{\forall }j\in [1,p],d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}$（因为 $d{p}_{i-1,j}<a_i$），$\mathrm{\forall }j\in [p+1,n],d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j}$（因为 $d{p}_{i,j-1}$ 已经大于 $a_i$ 了，那么 $d{p}_{i,j-1}{b}_{j-1}$ 肯定大于 $a_i$）。

最后总复杂度 $O(n\log n)$。

//不开 long long 见祖宗
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6 + 9,INF = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
int n;
int a[N],b[N];
int dp[N];
signed main(){
	//freopen("alice.in","r",stdin);
	//freopen("alice.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> a[i];
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> b[i];
	memset(dp,0x7f,sizeof dp);
	dp[0] = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int pos = lower_bound(dp + 1,dp + n + 1,a[i]) - dp;
		if(a[i] > dp[pos - 1] * b[pos - 1])
			dp[pos] = min(dp[pos],a[i]);
	}
	for(int ans = n;ans >= 1;ans--)
		if(dp[ans] != INF){
			cout << ans;
			break;
		}
	return 0;
}