[NOIP2014 提高组] 联合权值 题解

题目传送门

本题注意两个点：

1. 如果 $(u,v)$ 会产生联合权值，$(v,u)$ 也会产生相等的联合权值。
2. 只有联合权值之和才 $mod10007$，最大联合权值不用（大坑点）。

对于求最大联合权值，相对简单。因为能产生联合权值的 $(u,v)$ 距离为 $2$，所以中间必然有一个中转点 $w$（$u,w$ 相邻，$v,w$ 相邻）。我们遍历整棵树，依次把遍历到的节点作为中转点。显然，以中转点 $w$ 为中转点的最大联合权值为与 $w$ 相邻的权值最大与次大节点权值的乘积。

for(int w = 1;w <= n;w++){//中转点
	int max1 = -1,max2 = -1;//最大值、次大值
	for(int i = head[w];i;i = e[i].nex){//遍历所有与w相邻的点
		int v = e[i].to;
        //打擂台找最大、次大（请自行分类讨论）
		if(a[v] > max1){
			max2 = max1;
			max1 = a[v];
		}
		else if(a[v] > max2)
			max2 = a[v];
	}
	ans_max = max(ans_max,max1 * max2);
}

对于联合权值之和，我们需要这么分析：

对于与当前中转点相邻的一对 $(u,v)$，其会产生 $2\times W_u\times W_v$ 的联合权值（还要算上 $(v,u)$ 的），其等于 $(W_u+W_v{)}^2-(W_u^2+W_v^2)$。

对于与当前中转点相邻的三个点 $(u,v,x)$，其共会产生 $2\times W_u\times W_v+2\times W_u\times W_x+2\times W_v\times W_x=(W_u+W_v+W_x{)}^2-(W_u^2+W_v^2+W_x^2)$。

依次类推，所有与 $w$ 相邻的点 $u_i$ 共会产生 $(\sum u_i{)}^2-(\sum u_i^2)$。

因此，我们遍历所有与 $w$ 相邻的点，维护这些点权值和的平方 $sum1$ 和权值的平方和 $sum2$，最后将联合权值之和加 $sum1-sum2$。

代码如下，注意要边加边取模：

for(int w = 1;w <= n;w++){//中转点
	int sum1 = 0,sum2 = 0;//相邻节点权值和的平方、相邻节点权值的平方和
	for(int i = head[w];i;i = e[i].nex){//遍历所有与w相邻的点
		(sum1 += a[v]) %= MOD;
		(sum2 += a[v] * a[v]) %= MOD;
	}
	sum1 = sum1 * sum1 % MOD;
	(ans_tot += sum1 - sum2) %= MOD;
}

合并后完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9,MOD = 10007;
struct edge{
	int to,nex;
} e[N << 1];//建的是无向树，开两倍空间
int head[N],ecnt;
void addedge(int u,int v){//建边
	ecnt++;
	e[ecnt] = (edge){v,head[u]};
	head[u] = ecnt;
}
int n;
int a[N];
int ans_max,ans_tot;//最大联合权值，联合权值之和
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin >> n;
	for(int i = 1;i < n;i++){
		int u,v;
		cin >> u >> v;
		addedge(u,v);
		addedge(v,u);
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> a[i];
	for(int w = 1;w <= n;w++){//中转点
		int max1 = -1,max2 = -1;//最大值、次大值
		int sum1 = 0,sum2 = 0;//相邻节点权值和的平方、相邻节点权值的平方和
		for(int i = head[w];i;i = e[i].nex){//遍历所有与w相邻的点
			int v = e[i].to;
			if(a[v] > max1){
				max2 = max1;
				max1 = a[v];
			}
			else if(a[v] > max2)
				max2 = a[v];
			(sum1 += a[v]) %= MOD;
			(sum2 += a[v] * a[v]) %= MOD;
		}
		sum1 = sum1 * sum1 % MOD;
		(ans_tot += sum1 - sum2) %= MOD;
		ans_max = max(ans_max,max1 * max2);
	}
	cout << ans_max << ' ' << (ans_tot % MOD + MOD) % MOD;
	return 0;
}