【学习笔记】逆元

【0】逆元的定义：

逆元又称模意义下的倒数。

一个正整数 \(a\) 在模 \(p\) 的逆元 \(x\) 满足 \(ax \equiv 1(\bmod p)\)，我们一般取最小的满足条件的正整数 \(x\) 作为 \(a\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\) 或 \(\operatorname{inv}(a)\)。

我们把这个同余方程转换一下，变成 \(ax + py = 1\)。由裴蜀定理，该方程当且仅当 \(\gcd(a,p) = 1\)，即 \(a,p\) 互质时有解。

也就是说，当 \((a,p) > 1\) 时，不存在 \(a\) 模 \(p\) 意义下的逆元。

接下来，我们探讨逆元的求法。

【1】扩欧（exgcd）的求法。

上文说了，求逆元的线性同余方程 \(ax \equiv 1(\bmod p)\) 可以转化为这个线性不定方程 \(ax + py = 1\)，当且仅当 \(\gcd(a,p) = 1\) 时有解，那么这个不定方程就是 \(ax + py = \gcd(a,p)\)，显然可以用扩欧解。复杂度 \(O(\log \max(a,p))\)。

【2】费马小定理求法：

提前声明：该算法只适用于 \(p\) 为质数的情况。

费马小定理：当 \(p\) 为质数，\((a,p) = 1\) 时，\(a^{p - 1} \equiv 1(\bmod p)\)。

又因为当 \((a,p) > 1\) 时，不存在逆元，这一点很好特判。因为 \(p\) 为质数，所以当 \((a,p) > 1\) 时，显然 \(p | a\)。所以，当 \(p\) 为质数时一定可以用这种方法。

我们发现 \(a^{p - 1} = a \ times a^{p - 2} \equiv 1(\bmod p)\)，由同余的性质，我们只需通过快速幂求出 \(a^{p - 2} \bmod p\) 即为 \(a\) 模 \(p\) 意义下的逆元，复杂度 \(O(\log p)\)。

【3】线性递推

由逆元的定义，易知 \(\operatorname{inv}(i) = \operatorname{inv}(i \bmod p)\)，所以我们不妨设 \(i < p\)。

设 \(k = \lfloor \frac{p}{i} \rfloor,r = p \bmod i\)，则 \(p = k \times i + r\)（\(k\) 就是 \(p \div i\) 的商， \(r\) 为余数）。

所以 \(k \times i + r \equiv 0(\bmod p)\)，由同余的性质，两边可以同除以 \(ir\)，得到 \(k \times r^{-1} + i^-1 \equiv 0(\bmod p)\)，即 \(k \times \operatorname{inv}(r) + \operatorname{inv}(i) \equiv 0(\bmod p)\)。

把 \(k \times \operatorname{inv}(r)\) 移到右边，得到 \(\operatorname{inv}(i) \equiv -k \times \operatorname{inv}(r) (\bmod p)\)，把 \(k,r\) 代入得 \(\operatorname{inv}(i) = (-\lfloor \frac{p}{i} \rfloor \times \operatorname{inv}(p \bmod i)) \bmod p\)。

因为 \(p \bmod i < i\)，所以这个是可以递推的。