【学习笔记】逆元

【0】逆元的定义：

逆元又称模意义下的倒数。

一个正整数 $a$ 在模 $p$ 的逆元 $x$ 满足 $ax\equiv 1(modp)$，我们一般取最小的满足条件的正整数 $x$ 作为 $a$ 的逆元，记作 $a^{-1}$ 或 $\mathrm{inv}(a)$。

我们把这个同余方程转换一下，变成 $ax+py=1$。由裴蜀定理，该方程当且仅当 $gcd(a,p)=1$，即 $a,p$ 互质时有解。

也就是说，当 $(a,p)>1$ 时，不存在 $a$ 模 $p$ 意义下的逆元。

接下来，我们探讨逆元的求法。

【1】扩欧（exgcd）的求法。

上文说了，求逆元的线性同余方程 $ax\equiv 1(modp)$ 可以转化为这个线性不定方程 $ax+py=1$，当且仅当 $gcd(a,p)=1$ 时有解，那么这个不定方程就是 $ax+py=gcd(a,p)$，显然可以用扩欧解。复杂度 $O(\log max(a,p))$。

【2】费马小定理求法：

提前声明：该算法只适用于 $p$ 为质数的情况。

费马小定理：当 $p$ 为质数，$(a,p)=1$ 时，$a^{p-1}\equiv 1(modp)$。

又因为当 $(a,p)>1$ 时，不存在逆元，这一点很好特判。因为 $p$ 为质数，所以当 $(a,p)>1$ 时，显然 $p|a$。所以，当 $p$ 为质数时一定可以用这种方法。

我们发现 $a^{p-1}=atimes{a}^{p-2}\equiv 1(modp)$，由同余的性质，我们只需通过快速幂求出 $a^{p-2}modp$ 即为 $a$ 模 $p$ 意义下的逆元，复杂度 $O(\log p)$。

【3】线性递推

由逆元的定义，易知 $\mathrm{inv}(i)=\mathrm{inv}(imodp)$，所以我们不妨设 $i<p$。

设 $k=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor ,r=pmodi$，则 $p=k\times i+r$（$k$ 就是 $p÷i$ 的商， $r$ 为余数）。

所以 $k\times i+r\equiv 0(modp)$，由同余的性质，两边可以同除以 $ir$，得到 $k\times r^{-1}+i^{-}1\equiv 0(modp)$，即 $k\times \mathrm{inv}(r)+\mathrm{inv}(i)\equiv 0(modp)$。

把 $k\times \mathrm{inv}(r)$ 移到右边，得到 $\mathrm{inv}(i)\equiv -k\times \mathrm{inv}(r)(modp)$，把 $k,r$ 代入得 $\mathrm{inv}(i)=(-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times \mathrm{inv}(pmodi))modp$。

因为 $pmodi<i$，所以这个是可以递推的。