位运算

取出整数 $n$ 在二进制下的最后一位：

直接说结论：n & 1。这一点可以用来判奇偶性，也是其它二进制操作中很重要的一点。

取出整数 $n$ 在二进制下的第 $k$ 位：

注：二进制位从 $0$ 开始计。

因为我们要取第 $k$ 位，所以 $0\sim k-1$ 位不用考虑，直接右移 $k$ 位。

此时 $n$ 末尾即为第 $k$ 位，要取它，只需要取 $n$ 的最后一位即可，所以是 (n >> k) & 1。

把 $n$ 的第 $k$ 位取反：

谈到取反，不难想到异或。任何位异或 $0$ 不变，异或 $1$ 取反，所以即为 n ^ (1 << k)。

把 $n$ 的第 $k$ 位变为 $1$：

不难发现，把上述方法的异或改成或即可，即 n | (1 << k)。

把 $n$ 的第 $k$ 位变为 $0$：

把任意位变为 $0$ 很容易想到与。其它位都与上 $1$，第 $k$ 位与上 $0$，所以是 。

$\mathrm{lowbit}$ 函数：

$\mathrm{lowbit}(n)$ 的意思是，设 $n$ 最低位为 $k$，那么 $\mathrm{lowbit}(n)=2^k$。

如何推导 $\mathrm{lowbit}$ 函数的公式呢？首先，第 $k$ 位后所有的数肯定都是 $0$，那么将 $n$ 取反后，末尾的所有数都会变成 $1$，第 $k$ 位会变成 $0$。那么将 $n$ 取反后再加 $1$，第 $k$ 位后所有的数又会变成 $0$，第 $k$ 位又会变成 $1$，其它位都全部取反。这时将现在的 $n$ 和原来的 $n$ 按位与，就只会保留第 $k$ 位和后面的 $0$，这就是我们想要的 $\mathrm{lowbit}(n)$。而这里所说的 现在的$n$，就是在计算机反码下的 $-n$。所以答案为 lowbit(n) = n & (-n)。

$\mathrm{popcount}$ 函数：

$\mathrm{popcount}(n)$ 是 $n$ 在二进制下有多少个 $1$ ，方法即为每次将 $n$ 减去 $\mathrm{lowbit}(n)$，在将答案加 $1$。