【学习笔记】manacher

众所周知，manacher 又叫“马拉车”算法，是一种线性求解最长回文子串的算法。

推荐结合模板阅读此文。

求最长回文子串，首先想到的是暴力。枚举子串的左右端点 $l,r$ ，再判断这个子串是否回文。总复杂度 $O(n^3)$，效率过低。

观察发现，我们可以只枚举中点，然后同时向左右不断扩展，当无法再扩展时更新答案。

具体来说，我们求出所有的 $P_i$，即以字符 $S_i$ 为中心的最大扩展长度（包括 $S_i$ 本身）。一开始，所有 $P_i$ 设为 $1$（单个字符肯定是回文串）。

但这样有一个问题：长度为偶数的回文串没有回文中心。针对这个问题，我们在字符串每个字符间加上一个“特殊字符”，保证这个字符不在原字符串的字符集中（下文取 | 作为这个特殊字符）。

拿样例 aaa 举例，加上特殊字符后整个字符串变成了这个样子：

|a|a|a|

这有什么好处呢？对于回文长度为偶数的子串，回文中心就为一个 |。

所以整个串的 $P$ 数组如下：

S: |  a  |  a  |  a  |
P: 1  2  3  4  3  2  1

可以推出，以 $S_i$ 为回文中心在新字符串的最长回文串的长度为 $P_i\times 2-1$。去除特殊字符（显然特殊字符比原字符多一个，所以特殊字符的个数为 $P_i$），那么最长回文子串的长度即为 $P_i-1$。

所以答案为 $max\{P_i-1\}$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
const int N = 11e6 + 9;
char s[N << 1];
int p[N << 1],len,ans;
void read(){//读入字符串
	char c = getchar();len = 1;
	s[len] = '|';
	while(c < 'a' || c > 'z')
		c = getchar();
	while(c >= 'a' && c <= 'z'){
		s[++len] = c;
		s[++len] = '|';//添加特殊字符
		c = getchar();
	}
}
int main(){
	read();
	for(int i = 1,mx = 0,id = 0;i <= len;i++){
		p[i] = 1;
		while(s[i - p[i]] == s[i + p[i]])//暴力扩展
			p[i]++;
	    ans = max(ans,p[i] - 1);//更新答案
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

但是这样还不是最终的 manacher 算法，我们如果想要得到一个线性算法，就要想如何线性求出 $P_i$。

我们记在分别以前 $i$ 个字符为回文中心扩展后访问到的最右侧的下标为 $mx$，即 $mx=max\{i+P_i-1\}$（以 $i$ 为扩展中心扩展的长度为 $P_i$，那么能访问到的最右侧就是 $i+P_i-1$），同时记取到最大值的 $i$ 为 $id$（如果有多个取最右边的一个）。那么在扩展下一个字符 $s_{i+1}$ 时，如果 $i+1\le mx$，则 $s_{i+1}$ 一定被包含在以 $id$ 为中心的最长回文串中，那么 $s_{i+1}$ 一定在这个回文串中有对称的字符。

接下来我们推一下以 $id$ 为对称中心，$i$（不是 $i+1$）的对称点的下标：

设这个下标为 $j$，则 $j$ 到 $id$ 的距离和 $id$ 到 $i$ 的距离应该相等，即 $id-j+1=i-id+1$，整理即得 $j=2\times id-i$。

所以如果对称点 $j$ 有一些回文串包含在以 $id$ 为回文中心的最长回文串中，则其中最大者的长度为 $min\{P_j,\mathrm{以}id\mathrm{为}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{中}\mathrm{心}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{长}\mathrm{回}\mathrm{文}\mathrm{串}\mathrm{的}\mathrm{左}\mathrm{边}\mathrm{界}\mathrm{到}j\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{度}\}$（记为 $len$），易知 $len$ 等于 $i$ 到这个回文串右边界 $mx$ 的长度（由对称可知），所以 $len=min\{P_j,mx-i+1\}$这是为了保证以 $j$ 为回文中心的这个串一定在以 $id$ 为中心的最长回文串中，这样对称过去才能保证以 $i$ 为回文中心，上面这个数值扩展长度一定是一个回文串。

由上述我们可以得到如果 $i$ 包含在以 $id$ 为中心的最长回文串中，则 $P_i$ 至少为 $min\{P_j,mx-i+1\}$，我们再以这个基础暴力扩展。否则，我们就只能老老实实的从 $P_i=1$ 开始扩展。

扩展完成之后，我们再按 $mx$ 和 $id$ 的定义更新 $mx$ 和 $id$ 即可。

总复杂度是线性的（不想证了）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; 
const int N = 11e6 + 9;
char s[N << 1];
int p[N << 1],len,ans;
void read(){
	char c = getchar();len = 1;
    s[0] = '~';s[len] = '|';
	while(c < 'a' || c > 'z')
		c = getchar();
	while(c >= 'a' && c <= 'z'){
		s[++len] = c;
		s[++len] = '|';//添加特殊字符
		c = getchar();
	}
}
int main(){
	read();
	for(int i = 1,mx = 0,id = 0;i <= len;i++){
		p[i] = i <= mx ? min(p[(id << 1) - i/*i关于id的对称点*/],mx - i + 1) : 1;
		while(s[i - p[i]] == s[i + p[i]])//暴力扩展
			++p[i];
	    if(p[i] + i - 1 >= mx){//访问到的最右侧的下标大于mx，更新mx和id
			mx = p[i] + i - 1;
			id = i;
		}
	    ans = max(ans,p[i] - 1);//更新答案
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}