算法工程师学习运筹学 笔记三 对偶问题
对偶问题
每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。
在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格，可以为企业管理决策提供有用信息。
线性规划的对偶问题
直接看公式
当原问题为最优解时，对偶问题也为最优解。
对偶问题的基本性质
弱对偶性
- 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界。
- 如原问题有可行解且目标函数值无界（具有无界解），其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数值无界，则其原问题无可行解（注意哦，本条性质逆不成立，即当对偶问题无可行解时，其原问题或具有无界解或无可行解，反之亦然）。
- 若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数值无界。
最优性
- 如果原问题的可行解与对偶问题的可行解相等，那么该可行解是各自的最优解
强对偶性
- 若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解且目标函数值相等。
互补松弛性
- 在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非0，则该约束条件取严格等式，则其对应的对偶变量一定为0
影子价格
当线性规划原问题求得最优解xj(j=1, ...，n)时其对偶问题也得到最优解 yi(i=1, ..., m)，且代入各自目标函数后有
式中bi是线性规划原问题约束条件的右端项，代表第i种资源的拥有量。yi描述了原始线性规划问题达到最优时，第i种资源的“估价”。这种估价不是资源的市场价格，而是单位第i种资源在所给问题的最优方案中作出的贡献的估价，
影子价格(shadow price)它反映了
- 在最优经济结构中在资源得到最优配置前提下资源的边际使用价值。
- 资源对目标函数的边际贡献，及资源转化成效益的效率
将互补松弛性质(在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零则该约束条件取严格等式;反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为0)应用于对偶问题，可得
在某项经济活动中，在资源得到最优配置条件下：
该性质的经济意义:
- 若产生一个单位的第种产品按消耗资源的影子价格计算的支出等于销售一个单位该产品所得收入，则可生产此产品
- 若生产一个单位的第种产品按所消耗资源的影子价格计算的支出大于销售一个单位该产品得到的收入，则不宜生产此产品
对偶单纯形法
与单纯形法相比，对偶单纯性方法提高了对求解线性规划问题的效率，它具有以下优点：
①初始基解可以是非可行解，当检验数都为负值时，就可以进行基的变换，不需加入人工变量；
②对于变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法可以减少计算量，在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时适宜用对偶规划单纯形法。
对偶单纯形法的使用也具有一定的局限性：
在使用对偶单纯形法时，要求必须所有的检验数均≤0，且右端项中必须有负分量，而大多数线性规划问题的初始单纯形表很难满足所有检验数均≤0的要求，因此，对偶单纯形法一般不会单独使用。
灵敏度分析
灵敏度分析，是指当线性规划问题中的参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
参数线性规划
参数线性规划，研究系数不是常数，而是在某范围内变化的参数的线性规划问题。求解参数线性规划问题的目的就是求出参数在不同范围内对应的线性规划问题的最优解。
通常讨论的参数线性规划都局限于目标系数C(λ)和约束条件常数b(λ)的线性参数变化。
