高斯的正十七变形计算

1. 首先看到网上说，有个以下公式，只要能把cos(2pai/n)用有理数用四则运算和平方根表示出来，正N变形就可以用尺规证明，反之则不能，那么我估计是因为用尺规只能算出四则运算和平方根。

2. 看下具体的计算过程

正十七边形的证明方法

　　正十七边形的尺规作图存在之证明:

　　设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a

　　故sin16a=-sina,而

　　sin16a=2sin8acos8a=2*2sin4acos4acos8a=2*4 sinacosacos2acos4acos8a

　　因sina不等于0,两边除之有:

　　16cosacos2acos4acos8a=-1

　　又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有

　　2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1 （这一步没证明）

　　注意到 cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令

　　x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a

　　y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a

　　有:

　　x+y=-1/2

　　又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)

　　=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)

　　经计算知xy=-1

　　又有

　　x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4

　　其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a

　　y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a

　　故有x1+x2=(-1+根号17)/4

　　y1+y2=(-1-根号17)/4

　　最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2

　　可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出

尺规作法

 

　　步骤一：

　　给一圆O，作两垂直的直径OA、OB，

　　作C点使OC＝1/4OB，

　　作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，

　　作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。

　　步骤二：

　　作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，

　　再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。

　　步骤三：

　　过G4作OA垂直线交圆O于P4，

　　过G6作OA垂直线交圆O于P6，

　　则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点，P6为第六顶点。

　　以1/2弧P4P6为半径，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。