【补题】LongChallenge

2021

Dec. (div.2)(Unrated)

Increasing String

想到正解，但没实现出来。。。WA 了两发就心态爆炸了

官方题解 够详细了，简单写两句

先用单调栈求出不降序列作为初步不选的字符，记作 \(a\)，选出的记作 \(b\)，那么还要选的字符一定是 \(a\) 的后缀（可能为空）。

\(a\) 的后缀中大于 \(b[1]\) 的字符一定还要选；
等于 \(b[1]\) 的字符是否选取决于它与 \(b[p]\) 的大小关系（\(b[p]\) 为第一个不等于 \(b[1]\) 的字符），若大则选。
证明：\(a\) 后缀中 \(=b[1],>b[p]\) 的这部分选出后不论放在哪都是不劣的，因此直接选出来即可。

Nov (div.3)

Flip or Compress

以全变为 \(0\) 为例，考虑贪心。

一个 naive 的想法是对于 \(\ge2\) 的连续 \(1\) 进行 Compress+Flip（称为策略 \(1\)），很容易找到反例：11011。
这种情况只需要三次操作：Flip \(0\)，Compress，Flip（称为策略 \(2\)），不过只有这一种情况比策略 \(1\) 更优，分类讨论：

• 0100,0010100：Flip
• 00101100,001100：策略 \(1\)
• 11011,1101011：策略 \(2\)

考虑实现：先扫一边，对左右都是 \(0\) 且左/右两位有 \(0\) 的 \(1\) Flip；然后对左右都是 \(1\) 的 \(0\) Flip；最后对每段使用策略 \(1\)

不过 std 的实现非常巧妙：从前往后扫，遇到与左有数字均不同的就 Flip，然后对每段使用策略 \(1\)。根据上面的分类讨论，这样恰好对每种情况都采取了最优策略。时间复杂度 \(O(|S|)\)

Functional Array

\(B\) 是 \(fA\) 前缀和的子序列，\(fA\) 是 \(Z\) 的子序列，有解等价于将 \(Z\) 分成 \(n\) 段，满足第 \(i\) 段中选出若干个数之和为 \(B_i\)，显然每段的右端点越靠左越好。考虑 bitset 优化 \(01\) 背包，如果能拼出当前数就清空 bitset，继续拼下一个

注意特判 \(fB_{i}<0,fB_{i}=0\) 的情况

\(O(\frac{n^{2}}{\omega})\) 能过 \(10^5\)

Oct (div.3)

Sep (Div.3)

Minimize Digit Sum

根号分治的新套路

• \(B\le\sqrt{n}\)：暴力枚举 \(B\)
• \(B>\sqrt{n}\)：\(n=aB+b\)，不同的 \(a\) 只有 \(\sqrt{n}\) 种，\(a\) 相同时 \(B\) 越大 \(b\) 越小，枚举 \(a\) 即可

复杂度 \(O(\sqrt{n}\log n)\)