hdu2022多校9

A. Arithmetic Subsequence

注意到等差数列加减乘除上同一个数仍是等差数列，这为分治提供了可能

把所有数按奇偶分开，那么不会有跨过两边的等差数列。把偶数除以 \(2\)，奇数减 \(1\) 再除以二递归即可。时间复杂度 \(O(n\log a)\)

这个构造过程证明了只要不存在三个相同数就有解。注意递归边界是长度 \(\le2\)（两个数相同）

C. Fast Bubble Sort

ycx 做法：离线。倒序扫序列，维护单增栈，如果栈中两个元素位置相邻那么合并成一个（对答案只贡献 \(1\)），弹栈时再把合并的拆开。单调栈上二分出询问区间中元素个数就是答案

F. Mario Party

关键性质：\(\sum|a|\le10^{6}\)

分块

对于每个块，设 \(s=\sum|a|\)，预处理值 \(0\le i<s\) 进入块后出来会变成多少。对于值 \(i\ge s\)，在块中一定不会触发 \(a_{i}+x<0\)，直接加上块内 \(a\) 的和即可。时间复杂度 \(O(\sum|a|\sqrt{n})\)，非常好写

倍增

找到所有关键点 \((i,j)\)：到达 \(i\) 时值为 \(j\) 且满足 \(a_{i}+j<0\)（只有 \(\sum|a|\) 个）。预处理关键点的倍增数组：到达一个关键点后下一个关键点是谁

剩下的问题是求 当前在 \(i\)、值为 \(x\) 的下一个关键点。记 \(a\) 的前缀和为 \(b\)，等价于求最小的 \(j\) 满足 \(x+b_{j}-b_{i}<0\)，离线倒序，在 \(b\) 的单调栈上二分即可

G. Matryoshka Doll

设 \(f[i,j]\) 为前 \(i\) 个数分 \(j\) 组的方案数，从 \(f[i-1,j]\) 转移需要知道有多少组末尾 \(\le a_{i}-r\)，注意到 \(>a_{i}-r\) 的必然不可能放到一组就很简单了

\[f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j]\times\max(j-\sum_{k=1}^{i-1}[a_{i}-a_{k}<r],0) \]

H. Shortest Path in GCD Graph

corner case：\(\gcd(u,v)=2\) 时直接走 \((u,v)\) 也是一条最短路

注意在计算质因子乘积时会爆 int

J. Sum Plus Product

\(\prod(a+1)\) 是定值