AGC022

https://atcoder.jp/contests/agc022/tasks

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E - Median Replace

先考虑如何判断合法性。显然可以贪心的把 \(000\) 删去两个 \(0\)，然后删去剩下的相邻的 \(01\)，看最后是否剩下 \(1\)，第二步可以看作比较剩下的 \(0,1\) 个数

尝试构建成一个 DFA。使用栈维护前面剩下的 \(0,1\)，考虑转移：

• 添加 \(0\)：
  • 栈顶为 \(0\)：如果栈顶有两个 \(0\) 那么 pop，否则 push(0)
  • 栈顶为 \(1\)：直接 push(0)
• 添加 \(1\)：
  • 栈顶为 \(0\)：此时栈顶的这一段 \(0\) 不可能再形成 \(000\)，可以直接按 \(01\) 删除，即 pop
  • 栈顶为 \(1\)：直接 push(1)

通过转移可以看出：任意时刻栈中从底到顶一定是一段 \(1\) 一段 \(0\)，且 \(0\) 的个数 \(<3\)。由于最后剩下的 \(1\) 比 \(0\) 多就合法，栈底的 \(1\) 只需要保存 \(\le3\) 个，且二元组 \((1\text{的个数},0\text{的个数})\) 就能唯一确定 DFA 上状态

最终 DFA 的状态数为 \(12\)，时间复杂度 \(O(n)\)。大力手玩可以进一步减小 DFA 状态数