AGC048

https://atcoder.jp/contests/agc048

D - Pocky Game

先找结论：

• 每个人的最优决策一定是“只拿一个”或者“全部拿完”。因为“拿多于一个但不拿完”之后下一步的决策集合是“只拿一个”的子集
• 若当前局面 First 必胜，那么给最左边加一个石子仍然 First 必胜
• 最左边石子足够多时 First 必胜
• 根据上两条，\(\exists x\) 使得当且仅当最左边石子数 \(\ge x\) 时 First 必胜

然后就可以 DP 了。设 \(f[l,r]\) 表示当前轮到 First，剩下区间 \([l,r]\) 中的石子，当且仅当 \(a_{l}\ge f[l,r]\) 是 First 必胜，类似地可以设出 \(g\)

考虑转移（以 \(f\) 为例）：若 \(a_{r}<f[l+1,r]\)，那么 First 拿完 \(a_l\) 获胜；否则只拿一个，若 \(a_{l}-1<g[l,r-1]\) 那么 Second 拿完 \(a_r\) 获胜；否则只拿一个 \(\cdots\)
谁获胜取决于 \(a_{l}-f[l,r-1]\) 和 \(a_{r}-g[l+1,r]\) 的大小，可以得到 \(f[l,r]=a_{r}-g[l+1,r]+f[l,r-1]+1\)