AGC048

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D - Pocky Game

先找结论：

• 每个人的最优决策一定是“只拿一个”或者“全部拿完”。因为“拿多于一个但不拿完”之后下一步的决策集合是“只拿一个”的子集
• 若当前局面 First 必胜，那么给最左边加一个石子仍然 First 必胜
• 最左边石子足够多时 First 必胜
• 根据上两条，$\mathrm{\exists }x$ 使得当且仅当最左边石子数 $\ge x$ 时 First 必胜

然后就可以 DP 了。设 $f[l,r]$ 表示当前轮到 First，剩下区间 $[l,r]$ 中的石子，当且仅当 $a_l\ge f[l,r]$ 是 First 必胜，类似地可以设出 $g$

考虑转移（以 $f$ 为例）：若 $a_r<f[l+1,r]$，那么 First 拿完 $a_l$ 获胜；否则只拿一个，若 $a_l-1<g[l,r-1]$ 那么 Second 拿完 $a_r$ 获胜；否则只拿一个 $\cdots$
谁获胜取决于 $a_l-f[l,r-1]$ 和 $a_r-g[l+1,r]$ 的大小，可以得到 $f[l,r]=a_r-g[l+1,r]+f[l,r-1]+1$