【省选模拟】4 月

4.8

01串

树上路径

DP。设 \(f[u,0/1/2/3]\) 为 子树 \(u\) ，\(u\) 向下有一条长为 \(0/1/2/3\) 的链的答案，转移时需要拼接 \(1,3\) 和 \(2,2\)，需要再开一个数组表示前面子树剩下 \(i\) 条长为 \(1\) 或 \(3\) 的链的答案，转移复杂度为度数的平方。结论：随机 \(1,-1\) 的序列前缀和最大值为 \(\sqrt{n}\) 级别。因此把出边 shuffle 后只考虑尽量大的 \(i\) 即可，时间复杂度 \(O(n\sqrt{n})\)

思路考场上想的差不多， 但实现很恶心，常数&码量都爆炸，我果然只会背板

4.7

星际广播

枚举最后变成的字符，给每个位置赋权 \(0,1\)，问题变为 \(m\) 个长为 \(l\) 的区间能覆盖的最大权值和

暴力 DP 是 \(O(n^{2})\) 的，根据实现可以获得 60~68pts。设 \(x\) 个区间的答案为 \(f(x)\)，那么 \((x,f(x))\) 构成上凸包，可以 wqs 二分。简证凸性：记第 \(i\) 个区间新覆盖的权值为 \(c[i]\)，那么 \(c[i]\ge c[i+1]\)，否则调换更优

4.6

Fable

ycx 的极简做法：\(k\) 轮冒泡排序后最小的元素一定是 \(\min_{i=1}^{k+1}\{a_{i}\}\)，次小的则是前 \(k+2\) 个元素中次小的，甚至可以做到 \(O(n)\)

Fiend

看到奇加偶减考虑构造行列式，不难得到 \(a_{i,j}=[l_{i}\le j][j\le r_{i}]\)

发现每行都是一段连续的 \(1\)，考虑找到该列有元且右端点最小的行，用该行消元后仍然满足每行是连续的 \(1\)。对于每个左端点，用可并堆维护对应的右端点即可

维护主元与行号的双射即可解决交换行值取反

4.3

Max (CSA Expected Max)

\(m\) 很小，可以状压决策集合，逐个添加元素。

设 \(f[i,s,j]\) 为第 \(i\) 个元素在且仅在操作集合 \(s\) 中被加，值为 \(j\) 的概率；\(g[i,s,j]\) 为前 \(i\) 个元素占用了操作集合 \(s\)，最大值为 \(j\) 的概率

枚举 \(\text{highbit}(s)\) 给 \(i\) 加了多少可以 \(O(c^{2}m2^{m})\) 计算 \(f[i]\)，预处理 \(f[i,s],g[i,s]\) 前缀和，枚举子集可以 \(O(cm3^{m})\) 转移到 \(g\)

Paint (ARC063F)

一个比较简洁分治做法，较线段树做法常数和码量都更小

两层分治枚举 \(x,y\) 上的中线，统计跨过中线的矩形。求出每个左/右边界对应的上下边界，通过旋转坐标系使得矩形右上角位于右上区域。下边界在右下区域可以单调指针求出左边界；下边界在左下区域可以单调队列维护左边界

不难发现答案下界为 \(2(\max(w,h)+1)\)，很难想到不跨过 \(\frac{w}{2},\frac{h}{2}\) 的矩形周长上界为 \(2(w+h)\)，因此答案一定跨过 \(\frac{w}{2}\) 或 \(\frac{h}{2}\)，可以省掉一个分治。时间复杂度 \(O(n\log n)\)