【省选模拟】4 月

4.8

01串

树上路径

DP。设 $f[u,0/1/2/3]$ 为 子树 $u$ ，$u$ 向下有一条长为 $0/1/2/3$ 的链的答案，转移时需要拼接 $1,3$ 和 $2,2$，需要再开一个数组表示前面子树剩下 $i$ 条长为 $1$ 或 $3$ 的链的答案，转移复杂度为度数的平方。结论：随机 $1,-1$ 的序列前缀和最大值为 $\sqrt{n}$ 级别。因此把出边 shuffle 后只考虑尽量大的 $i$ 即可，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$

思路考场上想的差不多， 但实现很恶心，常数&码量都爆炸，我果然只会背板

4.7

星际广播

枚举最后变成的字符，给每个位置赋权 $0,1$，问题变为 $m$ 个长为 $l$ 的区间能覆盖的最大权值和

暴力 DP 是 $O(n^2)$ 的，根据实现可以获得 60~68pts。设 $x$ 个区间的答案为 $f(x)$，那么 $(x,f(x))$ 构成上凸包，可以 wqs 二分。简证凸性：记第 $i$ 个区间新覆盖的权值为 $c[i]$，那么 $c[i]\ge c[i+1]$，否则调换更优

4.6

Fable

ycx 的极简做法：$k$ 轮冒泡排序后最小的元素一定是 $\underset{i=1}{\overset{k+1}{min}}\{a_i\}$，次小的则是前 $k+2$ 个元素中次小的，甚至可以做到 $O(n)$

Fiend

看到奇加偶减考虑构造行列式，不难得到 $a_{i,j}=[l_i\le j][j\le r_i]$

发现每行都是一段连续的 $1$，考虑找到该列有元且右端点最小的行，用该行消元后仍然满足每行是连续的 $1$。对于每个左端点，用可并堆维护对应的右端点即可

维护主元与行号的双射即可解决交换行值取反

4.3

Max (CSA Expected Max)

$m$ 很小，可以状压决策集合，逐个添加元素。

设 $f[i,s,j]$ 为第 $i$ 个元素在且仅在操作集合 $s$ 中被加，值为 $j$ 的概率；$g[i,s,j]$ 为前 $i$ 个元素占用了操作集合 $s$，最大值为 $j$ 的概率

枚举 $\text{highbit}(s)$ 给 $i$ 加了多少可以 $O(c^{2}m{2}^m)$ 计算 $f[i]$，预处理 $f[i,s],g[i,s]$ 前缀和，枚举子集可以 $O(cm{3}^m)$ 转移到 $g$

Paint (ARC063F)

一个比较简洁分治做法，较线段树做法常数和码量都更小

两层分治枚举 $x,y$ 上的中线，统计跨过中线的矩形。求出每个左/右边界对应的上下边界，通过旋转坐标系使得矩形右上角位于右上区域。下边界在右下区域可以单调指针求出左边界；下边界在左下区域可以单调队列维护左边界

不难发现答案下界为 $2(max(w,h)+1)$，很难想到不跨过 $\frac{w}{2},\frac{h}{2}$ 的矩形周长上界为 $2(w+h)$，因此答案一定跨过 $\frac{w}{2}$ 或 $\frac{h}{2}$，可以省掉一个分治。时间复杂度 $O(n\log n)$