【省选模拟】口胡
4.5
虚数之树
点分树维护路径，每个点开线段树维护编号区间（其实平衡树更好）
因为是求最短路径，有重叠一定不优，因此不用考虑去除点分树子树贡献
叮叮车
本质上是求 \(\max_{x=l}^{r},x+x\) 在 \(7\) 进制下进位次数
记 \(l,r\) LCP 下一位为第 \(i\) 位，暴力是枚举 \(j\ge i\)，将 \(r[i]-1\)，低位全填 \(6\)，可以通过。考虑贪心，找到从 \(i\) 开始的最长能进位连续段，\(j\) 为段内最低位（若 \(j=0\) 则答案就是 \(r\)）
没有找到类似贪心，不过应该是对的（假了的话请在评论区告知）
4.4
俩构造一交互有点东西
交互
交互次数 \(2n\) 很有提示性，考虑笛卡尔树建树。使用单调栈维护右链，加入点 \(i\) 时栈内必然存在相邻点 \(u,v\) 满足 \(ls(i)=v\)，\(i\) 在栈中的上一个元素是 \(u\)。
剩下的问题是找到这个 \(u\)。不难发现此时 \(u\) 的子树不满而 \(v\) 的满了，据此判断是否继续弹栈即可
构图
考虑枚举 \(deg=k\) 的点数 \(x\)，那么剩下 \(n-x\) 个点的度数和为 \(\max(kx,(k+1)(n-x)))\)（需要把 剩下 \(n-x\) 个点的度数和 \(-kx\) 补成偶数）
得到 \(x\) 后肯定是把这 \(kx\) 度数均分给 \(n-x\) 个点最优，随便模拟一下即可。瓶颈在于输出方案。
4.1
tree
把 \(s\) 到 \(t\) 的链拎出来，记做 \(v_{1}\cdots v_{k}\)，预处理 \(a[i]\) 表示从 \(v_i\) 出发不经过 \(v_{i-1},v_{i+1}\) 的最长路
一个错误想法是枚举 \(s\) 走到哪，然后 \(t\) 的最优决策即为后缀 \(\max\)，取得分差的 \(\max\) 为答案。问题在于 \(s,t\) 是轮流走的，若 \(s\) 走过了中点到 \(v_{i}\)，\(t\) 一定会选择走到 \(v_i\) 来迫使 \(s\) 提前拐弯
若 \(s,t\) 都在链上，只可能是 \((v_{i},v_{k-i+1})\) 或 \((v_{i+1},v_{k-i+1})\)，否则可以 \(O(1)\) 计算答案，因此状态数是 \(O(n)\) 的。考虑搜索，以轮到 \(s\) 走为例，\(dfs(i,j)\) 计算 \((v_{i},v_{j})\) 的答案，\(s\) 要么拐弯 \(a[i]-\max\{a[k]+j-k\}\) 要么向中间走 \(1+dfs(i+1,j)\)，递归下去即可。需要维护 \(mx[j]=a[k]+j-k\)，在 \((i+1,j)\) 的基础上对 \(a_{i+1}+j-(i+1)\) 取 \(\max\) 即可
treecnt \(\star\)
3.26
灯
答案 \(=\) 开灯数 \(-\) 相邻两个都开着的灯对数
根号分治。预处理任两大颜色之间的相邻灯对数，维护每个大颜色与多少个开着的小颜色邻，\(O(n\sqrt{n})\)
可以加强到树上
密室逃脱 \(\star\)
发现人的移动是可逆的，因此最终局面一定形成若干连通块，每个连通块中分成若干小段，每小段中至少有若干人，其余人可以随意移动，所以能到达每个房间的人数是固定的
设 \(f[i,j]\) 为第 \(i\) 个房间恰好有 \(j\) 人时前 \(i\) 个房间最多有多少人，同时要求 \(i\) 所在连通块中可以移动的人全在 \(i\)，因此不存在从 \(i+1\) 移动到 \(i\) 的情况。转移：
- \(j<a_{i}\)：\(f[i,j]+k\rightarrow f[i+1,k](k<b_{i})\)（\(i\) 与 \(i+1\) 不连通）；\(f[i,j]+b_{i}\rightarrow f[i,j+b_{i}]\)（\(i+1\) 增加 \(b_i\) 个人开门）
- \(a_{i}\le j<a_{i}+b_{i}\)：\(f[i,j]\rightarrow f[i+1,j-a_{i}]\)（留下 \(a_i\) 个人开门）
- \(j\ge a_{i}+b_{i}\)：\(f[i,j]\rightarrow f[i+1,j]\)（全过去了）
数组第二维需要开到 \(2\times10^{4}\)，因为这么多人一定能走到 \(0\)。时间复杂度 \(O(nm)\)
3.22
启程的日子
不妨令 \(n<m\)，实现上若 \(n>m\) 则 swap(n,m) 并标记，使用 write 函数输出一个矩阵，在该函数中判断是否有标记
可以粗略地构造出 \(=3\) 的方案：
- \(+\)：第一列为 \(1\)，后面奇数行为 \(1\)，偶数行为原矩阵
- \(+\)：第 \(m\) 列为 \(1\)，前面偶数行为 \(1\)，奇数行为原矩阵
- \(-\)：第一列、第 \(m\) 列为原矩阵取反，其余为 \(1\)
然后考虑需要特判的情况：
- \(ans=0\)：原矩阵中不存在 \(1\)，但题目没有明确说明
- \(ans=1\)：原矩阵只有一个含 \(1\) 连通块
- \(ans=2\)：一定可以由相减得到。枚举原矩阵的极大 \(0\) 连通块作为减掉的矩阵，看该连通块是否与所有 \(1\) 连通块连通即可
- \(n=1\)：构造失效，答案显然是 \(\min(\) \(1\) 连通块数 \(,\) \(0\) 连通块数 \(+1)\)
- \(n=m=2\)：构造失效，但 \(ans\le2\)，所以不需要特判
3.21
Board Game
\(O(nm2^{nm})\) 暴力：高维前缀和求出终止状态，然后博弈 DP
两部分转移类似，只考虑第一部分。设 \(g[s]\) 为 状态 \(s\) 是否是终止状态，其取值只有 \(0,1\)，可以把前 \(nm-6\) 位相同的压到一个 ull 里：g[s] = f[s>>6] & 1<<(s&63)
\(f[s]\) 内部转移：枚举第 \(i\) 位，取出该位为 \(0\) 的位置集合 \(p[i]\)，该位为 \(1\) 的位置集合即为 p[i]<<i，f[s] |= (f[s]&p[i]) << i。\(O(6\times(2^{6}+2^{nm-6}))\)
\(f[s]\) 之间转移：\(O((nm-6)2^{nm-6})\) 暴力高维前缀和
Function Query
不妨令 \(x<y\)。首先 \(f\) 在递归过程中 \(x+y,\gcd(x,y)\) 为定值，所以 \(f(x,y)=f(\frac{x}{\gcd(x,y)},\frac{y}{\gcd(x,y)})\)。之后 \(x\bot y\)，且 \(\gcd(2x,y-x)=2\)（若 \(\gcd\) 存在 \(>2\) 的质因子 \(d\)，那么 \(d|x,d|(y-x)\Rightarrow d|y\)，与 \(x\bot y\) 矛盾），再次除以 \(\gcd\) 得到 \(f(x,y)=f(x,\frac{y-x}{2})\)，每次和除以 \(2\)，直到 \(x=y=1\) 或死循环（初始 \(x+y\) 不为 \(2\) 的次幂）
总结一下，若 \(\frac{x+y}{\gcd(x,y)}=2^{k}\)，则 \(f(x,y)=k\)；否则 \(f(x,y)=0\)。\(a\) 为排列，可以枚举 \(x\) 和 \(x\) 的奇约数 \(d\)，取 \(y=2^{k}d-x\)。当且仅当 \(d=\frac{\gcd(x,y)}{2^{i}}(2^{i}|\gcd(x,y),2^{i+1}\nmid\gcd(x,y))\) 时会枚举一次 \(y\) 且从 \(y\) 也可以枚举到 \(x\)。
上述枚举过程时 \(O(n\log^{2}n)\) 的，不过只有不满 \(O(n\log n)\) 对合法的 \((x,y)\)，直接做二维偏序即可
3.20
数据结构 \(\star\)
要求最浅的带权重心，该点子树的权值和一定 \(\ge\frac{1}{2}\) 总权值。用 DFS 序把数拍到序列上，序列的带权中心一定在树的带权重心子树内，向上倍增寻找即可
