【补题】CF I

昨晚 CF 掉大分了。。。补一波以前比赛的题

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CF745

D. Mathematics Curriculum

对于位置 $i$，包含 $i$ 的区间中不同最大值个数可以拆分到 $[1,i]$ 后缀最大值个数和 $[i,n]$ 前缀最大值个数，等价于笛卡尔树上祖先个数（可以从构建笛卡尔树时单调栈的角度考虑）。
题目转化为求有多少种大小为 $n$ 的笛卡尔树，根的深度为 $1$，深度为 $m$ 的点数为 $k$

考虑 DP，设 $f[i,j,k]$ 表示大小为 $i$ 的笛卡尔树，深度为 $j$ 的点数为 $k$ 的个数，转移时把左右子树拼起来

$$f[i,j,k]\leftarrow \sum _a\sum _b(\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{a})f[a,j-1,b]\times f[i-a-1,j-1,k-b-[j=1]]$$

然而这个 DP 是 $O(n^5)$ 的，需要卡常

CF727

E. Game with Cards

考虑倒序 DP，设 $f[i],g[i]$ 为第 $i$ 张卡放左/右手，第 $i+1$ 张放在另一只手是否可行，以转移 $f$ 为例。$f[i]=1$ 的条件为存在 $j$，使得 $g[j]=1$，第 $i$ 张卡在 $[i,j]$ 中可以一直呆在左手，$[i+1,j]$ 中的卡都可以放在右手

容易发现只需要考虑满足 $g[j]=1$ 的 $minj$，时间复杂度 $O(n)$

• 倒序
• 贪心优化决策

F. Strange Array

精简一下奇异值的计算方式：对于 $l\le i\le r$，记 $x,y,z$ 为 $[l,r]$ 中小于、等于、大于 $a_i$ 的元素个数，那么 $i$ 的奇异值为 $max(\lfloor \frac{y+z-x}{2}\rfloor ,\lfloor \frac{x+y-z-1}{2}\rfloor )$（其实是把讨论 $a_i$ 与中位数的大小写成了 $max$ 形式）

以计算 $\lfloor \frac{y+z-x}{2}\rfloor$ 为例，可以以 $i$ 为分界拆成两端，以 $[l,i]$ 为例。把 $\le a_i$ 的元素记为 $1$，$>a_i$ 的元素记为 $-1$，那么 $maxy+z-x$ 即为 $[1,i]$ 的最大后缀和

实现上可以从小到达计算每个数值，线段树维护每个元素与当前数值的大小关系。时间复杂度 $O(n\log n)$

• 尝试精简题目给的计算方式而不是直接优化

CF725 (Div.3)

D. Another Problem About Dividing Numbers

一次除以 $x$ 可以通过 $y$ 次除以 $x$ 的约数代替（$x=\prod p_i^{c_i},y\le \sum c_i$），简单算出上下界即可。需要特判 $k=1$

F. Interesting Function

考虑第 $i$ 位，其变化次数为 $\lfloor \frac{r}{{10}^i}\rfloor -\lfloor \frac{l}{{10}^i}\rfloor$

• 按位考虑

G. Gift Set

LG 题解区的 $O(1)$ 做法：

令 $x\le y,a\le b$，那么答案一定是选若干个 $(a,b)$，然后尽可能选 $(a+b,b+a)$（选两次，分别为 $(a,b),(b,a)$）

显然我们想让选完 $(a,b)$ 后 $x,y$ 尽量接近（否则选 $(a,b),(b,a)$ 时会被浪费），那么选 $(a,b)$ 的次数为 $\lfloor \frac{y-x}{b-a}\rfloor$，为避免特判，再算一下选 $\lfloor \frac{y-x}{b-a}\rfloor +1$ 的答案

需要特判 $a=b$

• 考虑等价情况/条件

CF705

E. Enormous XOR

大型分类讨论

• $l$ 最高位为 $0$ ：答案为 $2^{n+1}-1$。取 $[2^n-1,2^n]$ 即可
• $r$ 为奇数：答案为 $r$。
  证明：归纳法。
  • 左端点 $\le r-2$：
    • 右端点 $\le r-2$：答案最大为 $r-2$
    • 右端点 $=r-1$：如果答案 $>r$，则一定存在一位使得该位前 $ans$ 与 $r$ 相同，该位 $r$ 为 $0$ 且 $ans$ 为 $1$。需使 $[l,r-1]$ 中该位出现奇数个 $1$，设最后一次出现 $1$ 为 $mid$，则 $[l,mid],[mid+1,r]$ 中各有奇数个数（$mid$ 在该位后都是 $1$，$r-1$ 为偶数，可以看官方题解的图），总长为偶数，因此 $ans$ 的最高为为 $0$，矛盾
    • 右端点 $=r$：答案为右端点 $\le r-2$ 的某个区间异或上 $r-1\oplus r=1$，最大为 $r+1$
  • 左端点 $>r-2$：显然为 $r$
• $r$ 为偶数：
  • $l\le r-2$：答案为 $r+1$，由 $[r-2,r]$ 取到（$[l,r+1]$ 的答案为 $r+1$，因此 $[l,r]$ 的答案不会更大）
  • $l>r-2$：显然为 $r$

与官方题解的证明顺序不同，官方题解的略乱，但符合思考顺序

• 打表，通过部分规律深入思考
• 不要怕分类讨论，但要注意时间
• 小数据测全（测了 $l=0,r=1$ 没测 $l=r=0$）

F. Enchanted Matrix

行列独立，关键在于求最小循环节/最大循环节数

LG 题解区做法：

最大循环节数一定是 $n$ 的约数，依次考虑 $n$ 的质因子 $p$。设当前循环节数为 $k$，那么只需要询问前 $\frac{n}{k}$ 列是否能分成 $p$ 节，比较显然的想法是询问 $[1,p-1],[2,p]$ 是否相等，但本题要求矩形不交

• $p=2$：直接询问即可
• $p>2$：$p$ 为质数，因此一定为奇数。可以考虑设中间变量，分别比较 $[1,\lfloor \frac{p}{2}\rfloor ],[\lfloor \frac{p}{2}\rfloor +1,p-1]$ 和 $[1,\lfloor \frac{p}{2}\rfloor ],[\lfloor \frac{p}{2}\rfloor +2,p]$，若都相等则合法

官方题解

CF702 (Div.3)

CF701

E. Move and Swap

确实比 F 难。

考虑 DP。首先蓝点与红点一定在同一层，且由于蓝点可以走到下一层任一点，因此只需要记录红点位置即可刻画出当前状态，设 $f[u]$ 为红点在 $u$ 时的最大值，转移时考虑是否交换：

1. 不交换：红点直接从父亲走下来，蓝点走到当前层权值最大/最小的点
2. 交换：蓝点变到 $u$，红点在这层任选，即为 $f[fa[v]]+|a[u]-a[v]|$，拆开绝对值得到 $max(max\{f[fa[v]]-a[v]\}+a[u],max\{f[fa[v]]+a[v]\}-a[u])$

• 从限制多/状态少的入手
• $|a-b|=max(a-b,b-a)$

F. Copy or Prefix Sum

哈希表被卡

CF700

E. Continuous City

Acfboy

显然要从二进制入手，但思考&实现细节都很多。也许可以先忽略点编号随便连边，然后拓扑排序？

• 通过连一条 $l-1$ 的边可以把值域平移到 $[1,r-l+1]$
• 先解决 $r=2^k$ 的情况在尝试以此为基础扩展