【补题】CF I

昨晚 CF 掉大分了。。。补一波以前比赛的题

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CF745

D. Mathematics Curriculum

对于位置 \(i\)，包含 \(i\) 的区间中不同最大值个数可以拆分到 \([1,i]\) 后缀最大值个数和 \([i,n]\) 前缀最大值个数，等价于笛卡尔树上祖先个数（可以从构建笛卡尔树时单调栈的角度考虑）。
题目转化为求有多少种大小为 \(n\) 的笛卡尔树，根的深度为 \(1\)，深度为 \(m\) 的点数为 \(k\)

考虑 DP，设 \(f[i,j,k]\) 表示大小为 \(i\) 的笛卡尔树，深度为 \(j\) 的点数为 \(k\) 的个数，转移时把左右子树拼起来

\[f[i,j,k]\leftarrow\sum_{a}\sum_{b}{i-1\choose a}f[a,j-1,b]\times f[i-a-1,j-1,k-b-[j=1]] \]

然而这个 DP 是 \(O(n^{5})\) 的，需要卡常

CF727

E. Game with Cards

考虑倒序 DP，设 \(f[i],g[i]\) 为第 \(i\) 张卡放左/右手，第 \(i+1\) 张放在另一只手是否可行，以转移 \(f\) 为例。\(f[i]=1\) 的条件为存在 \(j\)，使得 \(g[j]=1\)，第 \(i\) 张卡在 \([i,j]\) 中可以一直呆在左手，\([i+1,j]\) 中的卡都可以放在右手

容易发现只需要考虑满足 \(g[j]=1\) 的 \(\min j\)，时间复杂度 \(O(n)\)

• 倒序
• 贪心优化决策

F. Strange Array

精简一下奇异值的计算方式：对于 \(l\le i\le r\)，记 \(x,y,z\) 为 \([l,r]\) 中小于、等于、大于 \(a_i\) 的元素个数，那么 \(i\) 的奇异值为 \(\max(\lfloor\frac{y+z-x}{2}\rfloor,\lfloor\frac{x+y-z-1}{2}\rfloor)\)（其实是把讨论 \(a_i\) 与中位数的大小写成了 \(\max\) 形式）

以计算 \(\lfloor\frac{y+z-x}{2}\rfloor\) 为例，可以以 \(i\) 为分界拆成两端，以 \([l,i]\) 为例。把 \(\le a_{i}\) 的元素记为 \(1\)，\(>a_{i}\) 的元素记为 \(-1\)，那么 \(\max y+z-x\) 即为 \([1,i]\) 的最大后缀和

实现上可以从小到达计算每个数值，线段树维护每个元素与当前数值的大小关系。时间复杂度 \(O(n\log n)\)

• 尝试精简题目给的计算方式而不是直接优化

CF725 (Div.3)

D. Another Problem About Dividing Numbers

一次除以 \(x\) 可以通过 \(y\) 次除以 \(x\) 的约数代替（\(x=\prod p_{i}^{c_{i}},y\le \sum c_{i}\)），简单算出上下界即可。需要特判 \(k=1\)

F. Interesting Function

考虑第 \(i\) 位，其变化次数为 \(\lfloor\frac{r}{10^{i}}\rfloor-\lfloor\frac{l}{10^{i}}\rfloor\)

• 按位考虑

G. Gift Set

LG 题解区的 \(O(1)\) 做法：

令 \(x\le y,a\le b\)，那么答案一定是选若干个 \((a,b)\)，然后尽可能选 \((a+b,b+a)\)（选两次，分别为 \((a,b),(b,a)\)）

显然我们想让选完 \((a,b)\) 后 \(x,y\) 尽量接近（否则选 \((a,b),(b,a)\) 时会被浪费），那么选 \((a,b)\) 的次数为 \(\lfloor\frac{y-x}{b-a}\rfloor\)，为避免特判，再算一下选 \(\lfloor\frac{y-x}{b-a}\rfloor+1\) 的答案

需要特判 \(a=b\)

• 考虑等价情况/条件

CF705

E. Enormous XOR

大型分类讨论

• \(l\) 最高位为 \(0\) ：答案为 \(2^{n+1}-1\)。取 \([2^{n}-1,2^{n}]\) 即可
• \(r\) 为奇数：答案为 \(r\)。
  证明：归纳法。
  • 左端点 \(\le r-2\)：
    • 右端点 \(\le r-2\)：答案最大为 \(r-2\)
    • 右端点 \(=r-1\)：如果答案 \(>r\)，则一定存在一位使得该位前 \(ans\) 与 \(r\) 相同，该位 \(r\) 为 \(0\) 且 \(ans\) 为 \(1\)。需使 \([l,r-1]\) 中该位出现奇数个 \(1\)，设最后一次出现 \(1\) 为 \(mid\)，则 \([l,mid],[mid+1,r]\) 中各有奇数个数（\(mid\) 在该位后都是 \(1\)，\(r-1\) 为偶数，可以看官方题解的图），总长为偶数，因此 \(ans\) 的最高为为 \(0\)，矛盾
    • 右端点 \(=r\)：答案为右端点 \(\le r-2\) 的某个区间异或上 \(r-1\oplus r=1\)，最大为 \(r+1\)
  • 左端点 \(>r-2\)：显然为 \(r\)
• \(r\) 为偶数：
  • \(l\le r-2\)：答案为 \(r+1\)，由 \([r-2,r]\) 取到（\([l,r+1]\) 的答案为 \(r+1\)，因此 \([l,r]\) 的答案不会更大）
  • \(l>r-2\)：显然为 \(r\)

与官方题解的证明顺序不同，官方题解的略乱，但符合思考顺序

• 打表，通过部分规律深入思考
• 不要怕分类讨论，但要注意时间
• 小数据测全（测了 \(l=0,r=1\) 没测 \(l=r=0\)）

F. Enchanted Matrix

行列独立，关键在于求最小循环节/最大循环节数

LG 题解区做法：

最大循环节数一定是 \(n\) 的约数，依次考虑 \(n\) 的质因子 \(p\)。设当前循环节数为 \(k\)，那么只需要询问前 \(\frac{n}{k}\) 列是否能分成 \(p\) 节，比较显然的想法是询问 \([1,p-1],[2,p]\) 是否相等，但本题要求矩形不交

• \(p=2\)：直接询问即可
• \(p>2\)：\(p\) 为质数，因此一定为奇数。可以考虑设中间变量，分别比较 \([1,\lfloor\frac{p}{2}\rfloor],[\lfloor\frac{p}{2}\rfloor+1,p-1]\) 和 \([1,\lfloor\frac{p}{2}\rfloor],[\lfloor\frac{p}{2}\rfloor+2,p]\)，若都相等则合法

官方题解

CF702 (Div.3)

CF701

E. Move and Swap

确实比 F 难。

考虑 DP。首先蓝点与红点一定在同一层，且由于蓝点可以走到下一层任一点，因此只需要记录红点位置即可刻画出当前状态，设 \(f[u]\) 为红点在 \(u\) 时的最大值，转移时考虑是否交换：

1. 不交换：红点直接从父亲走下来，蓝点走到当前层权值最大/最小的点
2. 交换：蓝点变到 \(u\)，红点在这层任选，即为 \(f[fa[v]]+|a[u]-a[v]|\)，拆开绝对值得到 \(\max(\max\{f[fa[v]]-a[v]\}+a[u],\max\{f[fa[v]]+a[v]\}-a[u])\)

• 从限制多/状态少的入手
• \(|a-b|=\max(a-b,b-a)\)

F. Copy or Prefix Sum

哈希表被卡

CF700

E. Continuous City

Acfboy

显然要从二进制入手，但思考&实现细节都很多。也许可以先忽略点编号随便连边，然后拓扑排序？

• 通过连一条 \(l-1\) 的边可以把值域平移到 \([1,r-l+1]\)
• 先解决 \(r=2^{k}\) 的情况在尝试以此为基础扩展