Reading notes for the book "(Non-)Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists"
“No human investigation can be called real science if it cannot be demonstrated mathematically.”
Leonardo Da Vinci
正如达芬奇所说，不能被数学所证明的研究都称不上真正的科学。虽然这句话在当代的科学哲学理论框架中有失偏颇，但是它的确说明了数学对于当时自然科学研究的重要性。
数学是一门研究数量，结构，空间以及变化的庞大学科。而在这之外，还有一些被广泛研究的分支包括逻辑学，集合论，不确定性理论以及应用数学等等。如此庞大的学科不是三言两语能够说清的，况且我对数学的了解和你们大家是一样的level。
那么让我们进入正题，作为一名AI领域的学生，我们不可避免的会遇到很多需要用数学描述的问题，这也是由AI所面向的领域所决定的。AI涵盖之广使得数学的各个分支都或多或少的出现在了我们的工作中，那么这其中就包含了偏微分方程 (Partial Differential Equations, PDEs)。
首先，我们讲讲PDEs的发展史。PDEs最早出现在对几何表面和广泛存在的力学问题中，随后在19世纪下半叶，大量的数学家开始对PDEs进行研究，而这些研究工作也设计了非常多的领域中的问题。研究PDEs是一件顺理成章的事情，它能够表达很多自然定律，同时也是科技、工程问题中必不可少的一种数学分析方法。在这一时期，数学家们主要研究的是linear PDEs，一些研究工作的开展是为用PDEs解决实际问题，当然还有一些是为了研究PDEs本身，那就是求解PDEs。
那么提到PDEs，不可回避的一个科学泰斗就是Isaac Newton (1642–1727)，他在研究经典力学的定律时，就用到了PDE来描述天体运动特性。在接下来的三个世纪里，很多的PDEs被用于物理，化学，生物学现象等领域，其中就包括了著名的 Euler’s equations用于刚体的动力学和理想流体研究， 拉格朗日运动方程 (Lagrange’s equations of motion)，哈密顿运动方程 (Hamilton’s equations of motion)， 傅里叶方程 (Fourier’s equation)， 柯西运动方程 (Cauchy’s equation of motion)， Navier’s equation of motion， Navier–Stokes equations，柯西-黎曼方程 (Cauchy–Riemann equations)， 柯西-格林方程 (Cauchy–Green equations)， Kirchhoff’s equations， 麦克斯韦方程 (Maxwell’s equations)，狄拉克方程 (Dirac equation) 等等。
说到了这么的PDEs，如何求解PDEs有时并不是一件容易的事情。在早期的研究中，研究者倾向于用几何方法对其进行求解。由于曲线或者表面家族可以由PDEs来定义和描述，那么反过来，说明PDEs能够由这些曲线或者曲面几何地描述，这些曲线或者曲面就被称为特征曲线（面），characteristic curves。这个几何方法最早的研究者就是两位大名鼎鼎的法国数学家Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)和Gaspard Monge (1746–1818)。虽然对Monge不甚了解，但是就是他首次将特征表面和特征椎体的思想引入到了的PDEs的求解方法中。同时，Monge还对二阶偏微分方程 (second-order PDE) 和 齐次偏微分方程 (homogeneous PDE) 进行了研究。随后，拉格朗日开始对一阶PDEs进行系统研究，并列出了如下的方程：
f(x,y,u,ux,uy)=0, 其中 u=u(x,y)
那么，正在拉格朗日苦苦寻找他的方程的同时，还有一部分人却从另外一个领域找到了突破口，那就是位势理论。提到位势理论，我们肯定会对一个人不陌生甚至很熟悉，这个人的名字叫做拉普拉斯（居然和拉格朗日同姓！开个玩笑，哈哈），然我们看看这个方程：
uxx+uyy=0
拉普拉斯方程已经不再是位势理论独享的瑰宝，它已经被广泛引入到了各个领域。
数学是那么的迷人，以致于让如此多的人们魂牵梦绕，为之拼搏！他们让数学的魅力大放异彩，同时数学也让他们成为了我们仰望的星空！
