第4章 二次同余式与平方剩余 -《信息安全数学基础》

一、一般二次同余式

定义1.1：

设m是正整数，若同余式x² a（mod m），（a，m）= 1有解，则a叫做模m的平方剩余（或二次剩余）；否则，a叫做模m的平方非剩余（或二次非剩余）。

 

二、模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

定理2.1：

同余式4.4：

x² a（mod p），（a，p）= 1

推论：

若p是奇素数，（a1，p）= 1，（a2，p）= 1，则

• 如果a1，a2都是模p的平方剩余，则a1 · a2是模p的平方剩余；
• 如果a1，a2都是模p的平方非剩余，则a1 · a2是模p的平方剩余；
• 如果a1是模p的平方剩余，a2是模p的非平方剩余，则a1 · a2是模p的非平方剩余。

定理2.2：

 

三、勒让得符号

1、勒让得符号之运算性质

定义3.1：

定理3.1：

定理3.2：

定理3.3：

2、高斯引理

引理3.1：

定理3.4：

推论：

 

四、二次互反律

定理4.1：

 

五、雅可比符号

定义5.1：

定理5.1：

引理5.1：

定理5.2：

定理5.3：

 

六、模平方根

1、模p平方根

定理6.1：

定理6.2：

2、模p平方根

定理6.3：

3、模m平方根

定理6.4：

推论：

定理6.5：

 

七、x² + y² = p

定理7.1：