第2章 同余 -《信息安全数学基础》

一、同余的概念及基本性质

1、同余的概念

定义1.1：

给定一个正整数 m 。两个整数 a，b 叫做模m同余，如果 a - b 被 m 整除，或 m | a - b，记作a ≡ b（mod m）。否则叫做模 m 不同余，记作 a ≠ b（mod m）(此处为三横)。

2、同余的判断

定理1.1：

设 m 是一个正整数，设 a，b 是两个整数，则 a ≡ b（mod m）的充要条件是存在一个整数q使得 a = b + q · m。

定理1.2：

设 m 是一个正整数，则模 m 同余是等价关系，即

1. （自反性）对任一整数a，有a ≡ a（mod m）；
2. （对称性）若a ≡ b（mod m），则b ≡ a（mod m）；
3. （传递性）若a ≡ b（mod m），b ≡ c（mod m），则a ≡ c（mod m）。

定理1.3：

设m是一个正整数，则整数a，b模m同余的充分必要条件是a，b被m除的余数相同。

定理1.4：

设m是一个正整数，设a₁，a₂，b₁，b₂是4个整数。如果a₁ ≡ b₁（mod m），a₂ ≡ b₂（mod m），则

1. a₁ + a₂ ≡ b₁ + b₂（mod m）；
2. a₁ · a₂ ≡ b₁ · b₂（mod m）。

定理1.5：

若x ≡ y（mod m），a_i ≡ b_i（mod m），0 ≤ i ≤ k，则a₀ + a₁x + ··· + a_kx^k ≡ b₀ + b₁y + ··· + b_ky^k（mod m）。

定理1.6：

设整数n有十进制表示式n = a_k10^k + a_k-110^k-1 + ··· + a₁10 + a₀，0 ≤ ai＜10.则

• 3 | n的充分必要条件是3 | a_k + ·· ·+ a₀；
• 9 | n的充分必要条件是9 | a_k + ··· + a₀。

定理1.7：

设整数n有一千进制表示式：n = a_k1000^k + ··· + a₁1000 + a₀，0 ≤ a_i ≤ 1000。

则7（或11，或13）整除n的充分必要条件是7（或11，或13）能整除整数（a₀ + a₂ + ··· ）-（a₁ + a₃ + ···）。

3、同余的性质

定理1.8：

设m是一个正整数，设d · a ≡ d · b（mod m）。如果（d，m）= 1，则a ≡ b（mod m）。

定理1.9：

设m是一个正整数，设a ≡ b（mod m），d ＞0，则d · a ≡ d · b（mod m）。

定理1.10：

设m是一个正整数，是a ≡ b（mod m）。如果整数d | （a，b，m），则a/d ≡ b/d（mod m/d）。

定理1.11：

设m是一个正整数，设a ≡ b（mod m）。如果d | m，则a ≡ b（mod d）。

定理1.12：

设m₁，···，m_k是k个正整数，设a ≡ b（mod m_i），i = 1，···，k，则a ≡ b（mod [m₁，···，m_k]）。

定理1.13：

设a ≡ b（mod m），则（a，m）= （b，m）。

 

二、剩余类及完全剩余系

1、剩余类与剩余

定理2.1：

 定义2.1：

2、完全剩余系

定理2.1：

设m是一个正整数，则m个整数r₀，r₁，···，r_m-1为膜m的一个完全剩余系的充分必要条件是它们模m两两不同余。

定理2.2：

设m是正整数，a是满足（a，m）= 1 的整数，b是任意整数。若k遍历模m的一个完全剩余系，则a · k + b也遍历模m的一个完全剩余系。

3、两个模的完全剩余系

定理2.3：

设m₁，m₂是两个互素的正整数。若k₁，k₂分别遍历模m₁，m₂的完全剩余系，则m₂ · k₁ + m₁ · k₂遍历模m₁ · m₂的完全剩余系。

4、多个模的完全剩余系

定理2.4：

设m₁，m₂，···，m_k是k个互素的正整数。若x₁，x₂，···，x_k分别遍历模m₁，m₂，···，m_k的完全剩余系，则m₂ ··· m_{k ·} x₁ + m₁ · m₃ ··· m_k · x₂ + ··· + m₁ ··· m_k-1 · x_k遍历模m₁m₂ ··· m_k的完全剩余系。

 

三、简化剩余系与欧拉函数

1、欧拉函数

定义3.1：

设m是一个正整数，则m个整数1，···，m-1，m中与m互素的整数的个数，记作φ(m)，通常叫做欧拉(Euler)函数。

定理3.1：

2、简化剩余类与简化剩余系

定义3.1：

一个模m的剩余类叫做简化剩余类，如果该类中存在一个与m互素的剩余，这时，简化剩余类中的剩余叫做简化剩余。

注：

1. 简化剩余类的这个定义与剩余的选取无关；
2. 两个简化剩余的乘积仍是简化剩余。

定理3.2：

设r₁，r₂是同一模m剩余类的两个剩余，则r₁与m互素的充分必要条件是r₂与m互素。

定义3.2：

性质3.1：

设m ＞ 1是整数，a，b是模m的两个简化剩余，则它们的乘积也是简化剩余。

定理3.3：

设m是一个正整数，若r1，···，r_ψ(m)是ψ(m)个与m互素的整数，并且两两模m不同余，则r1，···，r_ψ(m)是模m的一个简化剩余系。

定理3.4：

设m是一个正整数，a是满足（a，m）= 1的整数。如果k遍历模m的一个简化剩余系，则a · k也遍历模m的一个简化剩余系。

定理3.5：

设m是一个正整数，a是满足（a，m）= 1的整数，则存在唯一的整数a'，1 ≤ a' ＜ m，使得a · a' ≡ 1（mod m）。

3、两个模的简化剩余系

定理3.6：

设m₁，m₂是互素的两个正整数。如果k₁，k₂分别遍历模m₁和m₂的简化剩余系，则m₂ · k₁ + m₁ · k₂遍历模m₁ · m₂的简化剩余系。

4、欧拉函数的性质

定理3.7：

设m，n是互素的两个正整数，则ψ(m · n) = ψ(m) · ψ(n)。

定理3.8：

推论：

设p，q是不同的素数，则ψ(p · q) = p · q - p - q + 1.

定理3.9：

 

四、欧拉定理，费马小定理和Wilson定理

1、欧拉定理

定理4.1（Euler）：

设m是大于1的整数。如果a是满足（a，m） = 1的整数，则a^ψ(m) ≡ 1（mod m）。

2、费马小定理

定理4.2（Fermat）：

设p是一个素数，则对任一整数a，有a^p ≡ a（mod p）。

推论：

设p是一个素数，则对任意整数a，以及对任意正整数t，k，有a^t+k(p-1) ≡ a^t（mod p）。

3、Wilson定理

定理4.3（Wilson）：

设p是一个素数，则（p - 1）!≡ -1（mod p）。

 

五、横重复平方计算法

 

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