第1章 整数的可除性 -《信息安全数学基础》

一、整除的概念，欧几里得除法

1、整除的概念

定义1.1：

设a，b是任意两个整数，其中b ≠ 0.如果存在一个整数q使得等式 a = q · b 成立，就称 b 整除 a 或者 a 被 b 整除，记作 b | a，并把b叫做a的因数，把a叫做b的倍数。人们常把q写成 a / b。否则，就称b不能整除a，或者a不能被b整除。

此外，再不会混淆的情况下，乘法a·b简记为ab。

注：

（1）当b遍历整数a的所有因数时，-b也遍历整数a的所有因数。

（2）当b遍历整数a的所有因数时，a/b也遍历整数a的所有因数。

根据定义有：

• 0是任何非零整数的倍数。
• 1是任何整数的倍数。
• 任何非零整数a是其本身的倍数，也是其自身的因数。

定理1.1：

设a，b ≠ 0，c ≠ 0是三个整数。若 b | a，c | b，则c | a。

定理1.2：

设a，b，c ≠ 0是三个整数。若c | a，c | b，则c | a ± b。

定理1.3：

设a，b，c ≠ 0是三个整数。若c | a，c | b，则对任意整数s，t，有c |（s·a+t·b）。

定理1.4：

设整数c ≠ 0。若整数a_{1，···，}a_n都是整数c的倍数，则对任意n个整数s₁，···，s_n，整数s₁a₁ + ··· + s_na_n是c的倍数。

定理1.5：

设a，b都是非零整数。若a | b，b | a，则a = ±b。

定义1.2：

设整数n ≠ 0，±1.如果除了显然因数±1和±n外，n没有其他因数，那么n就叫做素数（或质数或不可约数），否则，n叫做合数。

定理1.6：

设n是一个正合数，p是n的一个大于1的最小正因数，则p一定是素数，且p≤n^1/2。

 

2、Eratoshenes筛法

定理1.7：

设n是正整数。若果对所有的素数p ≤ n^1/2，都有p不被n整除，则n一定是素数。

应用该定理，可得到一个寻找素数的确定性方法，通常叫做平凡除法或厄拉托塞师筛法。

 

3、欧几里得除法 —— 最小非负余数

定理1.9（欧几里得除法）：

设a，b是两个整数，其中b>0，则存在唯一的整数q，r使得a = q·b + r ，0 ≤ r ≤ b 。

定义1.3：

a = q·b + r ，0 ≤ r ≤ b中，q叫做a被b除所得的不完全商，r叫做a被b除所得的余数。

定义1.4：

设x是实数，称x的整数部分为小于或等于x的最大整数，记成[x]。

这时，有[x] ≤ x＜ [x]+1。

 

4、素数的平凡判别

素数的平凡判别：对于给定正整数N，设不大于N^1/2的所有素数为p₁，p_2,，···，p_s。

如果N被所有p_i除的余数都不为零，则N是素数。

 

5、欧几里得除法 —— 一般余数

定理1.10（欧几里得除法）：

设a，b是两个整数，其中b＞0.则对任意的整数c，存在唯一的整数q，r使得

a = q·b+r，c ≤ r＜b+c

 

二、整数的表示

1、b进制

定理2.1：

设b是大于1的正整数，则每个正整数n可唯一地表示成

n = a_k-1b^k-1 + a_k-2b^k-2 + ··· + a₁b + a₀，

其中a_i是整数，0 ≤ a_i ≤ b-1，i = 1，···，k-1，且首项系数a_k-1 ≠ 0.

2、计算复杂性

大O符合和小o符号

大O符号：

设f(n)和g(n)都是正整数n的正值函数，如果存在一个正常数C，使得对任意的正整数n都有f(n) ≤ Cg(n)，

就称g(n)是f(n)的界，记作f(n) = O(g(n))，简记为f = O(g)。

小o符号：

设f(n)和g(n)都是正整数n的正值函数，如果对任意小的正数€，存在一个正整数N₀，使得对任意的正整数n ＞ N₀都有f(n) ＜ €g(n)，

就称g(n)是比f(n)高阶的无穷量，记作f(n) = o(g(n))，简记为f = o(g)。

 

三、最大公因数与广义欧几里得除法

1、最大公因数

定义3.1：

设a₁，···，a_n是n（n≥2）个整数。若整数d是它们中每一个数的因数，则d就叫做a₁，···，a_n的一个公因数。

d是a₁，···，a_n的一个公因数的数学表达式为：d | a₁，···，d | a_n。

如果整数a₁，···，a_n不全为零，那么a₁，···，a_n的所有公因数中最大的一个公因数叫做最大公因数，记作（a₁，···，a_n）。

特别地，当（a₁，···，a_n） = 1 时，称a₁，···，a_n互质或互素。

注①：d ＞ 0是a₁，···，a_n的最大公因数的数学表达式可表述为

1. d | a₁，···，d | a_n
2. 若 e | a₁，···，e | a_n，则e | d。

注②：a，b的最大公因数 d = （a，b）是集合

　　{ s · a + t · b | s， t ∈ Z}

注③：a₁，···，a_n的最大公因数 d 是集合

　　{ s₁ · a₁ + ··· + s_n · a_n | s₁，···，s_n ∈ Z}

定理3.1：

设a₁，···，a_n是n个不全为零的整数，则

1. a₁，···，a_n 与 |a₁|，···，|a_n|的公因数相同
2. （a₁，···，a_n）=（|a₁|，···，|a_n|）。

定理3.2：

设b是任一正整数，则（0，b）= b。

定理3.3：

设a，b，c是三个不全为零的证书。如果a = q · b + c，其中q是整数，则（a，b）= （b，c）

性质3.1：

定理3.4：

定理3.5：

 

2、最大公因数的进一步性质

定理3.9：

设a，b是任意两个不全为零的整数，d是正整数，则d是整数a，b的最大公因数的充要条件是：

1. d | a，b | b；
2. 若 e | a，e | b， 则e | d。

假设1,2成立，那么

1. 说明d是整数a，b的公因数；
2. 说明d是整数a，b的公因数中的最大数，因为e | d 时，有 | e | ≤ d。

因此，d是整数a，b的最大公因数。

定理3.10：

 

 

定理3.11：

定理3.12：

定理3.13：

 

3、多个整数的最大公因数及运算

定理3.14：

定理3.15：

 

4、形为2^α-1的整数及其最大公因数

 

四、整除的进一步性质及最小公倍数

1、整数的进一步性质

定理4.1：

设a，b，c是三个整数，且c ≠ 0，如果c | ab，（a，c）= 1，则c | b。

定理4.2：

设p是素数。若p | ab，则p | a 或 p | b。

定理4.3：

设a₁，···，a_n是n个整数，p是素数。若p | a₁，···，a_n，则p一定整除某一a_k，1 ≤ k ≤ n。

2、最小公倍数

定义4.1：

 

定理4.4：

 

3、最小公倍数与最大公因数

定理4.5：

 

4、多个整数的最小公二倍数

定理4.6：

定理4.7：

 

五、整数分解

定理5.1：

 

六、素数的算数基本定理

1、算数的基本定理

定理6.1：

定理6.2：

 

2、算数基本定理的应用

定理6.3：

定理6.4：

定理6.5：

定理6.6：

 

七、素数定理

定理7.1：