c++之最小生成树篇

C++之

最小生成树篇

概念：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。在一给定的无向图G = (V, E) 中，(u, v) 代表连接顶点 u 与顶点 v 的边（即），而 w(u, v) 代表此边的权重，若存在 T 为 E 的子集（即）且为无循环图，使得的 w(T) 最小，则此 T 为 G 的最小生成树。最小生成树其实是最小权重生成树的简称。

      应用：生成树和最小生成树有许多重要的应用。

例如：要在n个城市之间铺设光缆，主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信，但铺设光缆的费用很高，且各个城市之间铺设光缆的费用不同，因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

算法：最小生成树有两种算法：1、kruskal（克鲁斯卡尔）算法 和 prim（普里姆）算法

     1、prim（普里姆）算法：

prim算法采用与dijkstra、bellman-ford算法一样的“蓝白点”思想。

所谓“蓝白点”思想就是：“白点代表已经进入最小生成树的点，蓝点表示为进入最小生成树的点。”

算法描述：

 

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new= {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new= {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new= V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

2、kruskal（克鲁斯卡尔）算法：

kruskal（克鲁斯卡尔）算法是一种巧妙利用并查集来求最小生成树的算法。

假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

实际应用：

最优布线问题就是一个典型的用最小生成树的例子：

问：

       学校有n台计算机，为了方便数据传输，现要将它们用数据线连接起来。两台计算机被连接是指它们中间有数据线连  接。由于计算机所处的位置不同，因此不同的两台计算机的连接费用往往是不同的。当然，如果将任意两台计算机都用数据线连接，费用将是相当庞大的。为了节省费用，我们采用数据的间接传输手段，即一台计算机可以间接的通过若干台计算机（作为中转）来实现与另一台计算机的连接。现在由你负责连接这些计算机，你的任务是使任意两台计算机都连通（不管是直接的或间接的）。

解：

     这道题可以用到prim算法，prim算法就是运用贪心算法，来生成最小生成树。

     

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int g[101][101];
int minn[101];
bool u[101];
int n,j,i;
int main()
{
 cin>>n;
 for(i=1;i<=n;i++)
   for(j=1;j<=n;j++)
     cin>>g[i][j];
 memset(minn,0x7f,sizeof(minn));
 minn[1]=0;
 memset(u,1,sizeof(u));
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
  int k=0;
  for(j=1;j<=n;j++)
    if(u[j]&&(minn[j]<minn[k]))
      k=j;
  u[k]=false;
  for(j=1;j<=n;j++)
    if(u[j]&&(g[k][j]<minn[j]))
      minn[j]=g[k][j];
 }
 int total=0;
 for(i=1;i<=n;i++)
   total+=minn[i];
   cout<<total<<endl;
   return 0;
}            

                                                       济南稼轩学校

                                                      39级10班 续尧