非旋转Treap讲解
利用其他人其中考试的时间，终于学完了非旋转Treap,它与普通Treap的区别就是它不旋转废话。前置知识只有BST和可并堆。
BST看这个博客，解释的挺清楚的。https://www.cnblogs.com/jiangminghong/p/9999884.html
可并堆就是用很快的时间合并两个堆。如果裸上一个并查集的话就是nlog2n.这个复杂度我们是不能接受的。正常的可并堆是维护一棵左偏树，我们用一个参数dis[x]表示从x点出发能够向右走的最大步数。每次两个堆合并时，我们就把一个堆扔到另一个堆里就行了。
在旋转Treap中，我们用随机数来保持平衡树的平衡.非旋转Treap也是同样的做法。
1 int lson[N];//表示当前点的左儿子 2 int rson[N];//表示当前点的右儿子 3 int key[N];//表示当前点的随机数(保持平衡树的平衡) 4 int val[N];//表示当前点的权值 5 int size[N];//表示当前点子树的大小
这就是我们需要维护的信息。
看看操作吧
1.Merge【合并】O(logn)
2.Split【拆分】O(logn)
只有两个
可资瓷使用范围
Treap+各种区间操作
1.split
split操作就是以一个点为界限，将原来的树分裂成两棵树，保证左边树中任意点权值小于右边平衡树中任意点的权值。
把平衡树分裂成权值小于等于k和权值大于k两部分
从根节点开始往下查找，当前点权值<=k时，将当前点及它的右子树接到分裂后第二棵平衡树的左子树上；反之则将当前点及它的左子树接到分裂后第一棵平衡树的右子树上就OK了。
void split(int now,int k,int &x,int &y)//now表示现在的位置，k表示要查询的权值，x,y分别为拆分后两子树的根
{
if(!now)
{
x=y=0;
return ;
}
if(val[now]<=k)
x=now,split(rson[now],k,rson[now],y);
else
y=now,split(lson[now],k,x,lson[now]);
push_up(now);
return ;
}
如果想要拆分成前K个点与后n-K个点也是同理的,判断的条件就是size喽！
void split(int now,int k,int &x,int &y) { if(!now) { x=y=0; return ; } if(size[lson[now]]<k) x=now,split(rson[now],k-size[lson[now]]-1,rson[now],y); else y=now,split(lson[now],k,x,lson[now]); push_up(now); }
2.merge
merge这个操作就是将两个堆合并，我们请出可并堆。可并堆的合并方式就是按照随机数大小来合并。
int merge(int x,int y) { if(!x||!y) return x|y; if(key[x]<key[y]) { rson[x]=merge(rson[x],y); push_up(x); return x; } else { lson[y]=merge(x,lson[y]); push_up(y) return y; } }
有木有一直好奇push_up函数啊，其实和线段树一样,维护子树的一些信息。
有了这两个sao操作，是不是就可以在序列上想干嘛就干嘛了？
1.Newnode
新建节点，加入平衡树
int newnode(int x) { size[++tot]=1; val[tot]=x; key[tot]=rand()*rand(); return tot; }
split(root,a,x,y);
root=merge(merge(x,newnode(a)),y);
2.Delete
划分成3个区间，之后合并
split(root,a,x,z); split(x,a-1,x,y); y=merge(lson[y],rson[y]); root=merge(merge(x,y),z);
3.Query(查询以x为根排名第K的数)
判断K和左子树大小的关系，根据size找到答案。
int kth(int now,int k) { while(1) { if(now==0) break; if(k<=size[lson[now]]) now=lson[now]; else if(k==size[lson[now]]) return now; else k-=size[lson[now]]+1,now=rson[now]; } return 0; }
4.前驱&后继
split(root,a-1,x,y); printf("%d\n",val[kth(x,size[x])]); root=merge(x,y); //前驱 split(root,a,x,y); printf("%d\n",val[kth(y,1)]); root=merge(x,y); //后继
LuoguP3369 普通平衡树
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; #define N 1000100 int tot; int size[N]; int lson[N]; int rson[N]; int key[N]; int val[N]; int n,m; int root; int x,y; void push_up(int x){size[x]=size[lson[x]]+size[rson[x]]+1;return ;} int newnode(int x) { size[++tot]=1; val[tot]=x; key[tot]=rand(); return tot; } int merge(int x,int y) { if(!x||!y) return x+y; if(key[x]<key[y]) { rson[x]=merge(rson[x],y); push_up(x); return x; } else { lson[y]=merge(x,lson[y]); push_up(y); return y; } } void split(int now,int k,int &x,int &y) { if(!now) x=y=0; else { if(val[now]<=k) x=now,split(rson[now],k,rson[now],y); else y=now,split(lson[now],k,x,lson[now]); push_up(now); } return ; } int kth(int now,int k) { while(1) { if(k<=size[lson[now]]) now=lson[now]; else if(k==size[lson[now]]+1) return now; else k-=size[lson[now]]+1,now=rson[now]; } return 0; } int main() { srand(20030305); scanf("%d",&n); int opt,a; while(n--) { scanf("%d%d",&opt,&a); if(opt==1) { split(root,a,x,y); root=merge(merge(x,newnode(a)),y); } if(opt==2) { int z; split(root,a,x,z); split(x,a-1,x,y); y=merge(lson[y],rson[y]); root=merge(merge(x,y),z); } if(opt==3) { split(root,a-1,x,y); printf("%d\n",size[x]+1); root=merge(x,y); } if(opt==4) printf("%d\n",val[kth(root,a)]); if(opt==5) { split(root,a-1,x,y); printf("%d\n",val[kth(x,size[x])]); root=merge(x,y); } if(opt==6) { split(root,a,x,y); printf("%d\n",val[kth(y,1)]); root=merge(x,y); } } return 0; }
除此之外,非旋转Treap还有区间操作
1.线段树的区间问题
2.区间翻转
解决区间问题的最好方法就是拆分成x,y,z三棵子树进行处理，区间修改就是像线段树一样push_down来打lazy标记，等到查询该区间时再下放。
区间反转就直接交换左右子树就OK啦！
void add(int x,int delta)//添加 { mx[x]+=delta;//最大值 val[x]+=delta;//当前点权值 lazyadd[x]+=delta;//加的数字 } void rotate(int x)//翻转 { swap(lson[x],rson[x]); lazy[x]^=1;//翻转标记 } void push_down(int x)//下传 { if(lazyadd[x]) { if(lson[x]) add(lson[x],lazyadd[x]); if(rson[x]) add(lson[x],rson[x]); lazyadd[x]=0;//删除标记 } if(lazy[x]) { if(lson[x]) rotate(lson[x]); if(rson[x]) rotate(rson[x]); lazy[x]=0;//删除标记 } }
code:
#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; #define N 1000100 int n,m; int val[N]; int size[N]; int lson[N]; int rson[N]; int key[N]; int mx[N]; int lazyadd[N]; int lazy[N]; int tot,root,x,y; int delta; void push_up(int x) { size[x]=size[lson[x]]+size[rson[x]]+1; mx[x]=val[x]; if(lson[x]) mx[x]=max(mx[lson[x]],mx[x]); if(rson[x]) mx[x]=max(mx[x],mx[rson[x]]); return ; } int newnode(int x) { size[++tot]=1; key[tot]=rand()*rand(); return tot; } void add(int x,int delta) { mx[x]+=delta; val[x]+=delta; lazyadd[x]+=delta; } void rotate(int x) { swap(lson[x],rson[x]); lazy[x]^=1; } void push_down(int x) { if(lazy[x]) { if(lson[x]) rotate(lson[x]); if(rson[x]) rotate(rson[x]); lazy[x]=0; } if(lazyadd[x]) { if(lson[x]) add(lson[x],lazyadd[x]); if(rson[x]) add(rson[x],lazyadd[x]); lazyadd[x]=0; } return ; } int merge(int x,int y) { if(!x||!y) return x|y; push_down(x); push_down(y); if(key[x]<key[y]) { rson[x]=merge(rson[x],y); push_up(x); return x; } else { lson[y]=merge(x,lson[y]); push_up(y); return y; } } void split(int now,int k,int &x,int &y) { if(!now) { x=y=0; return ; } push_down(now); if(size[lson[now]]<k) x=now,split(rson[now],k-size[lson[now]]-1,rson[now],y); else y=now,split(lson[now],k,x,lson[now]); push_up(now); return ; } int main() { srand(20030305); int L,R; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) root=merge(root,newnode(i)); while(m--) { int opt; scanf("%d%d%d",&opt,&L,&R); if(opt==1) { int z; scanf("%d",&delta); split(root,L-1,x,y); split(y,R-L+1,y,z); add(y,delta); root=merge(merge(x,y),z); } else if(opt==2) { int z; split(root,L-1,x,y); split(y,R-L+1,y,z); rotate(y); root=merge(merge(x,y),z); } else { int z; split(root,L-1,x,y); split(y,R-L+1,y,z); printf("%d\n",mx[y]); root=merge(merge(x,y),z); } } return 0; }
今天的讲解就到这里了，不懂的在讨论里问我啊！
