动态规划入门

1.动态规划的概念及理解

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。

我的个人理解如下：
将一个复杂的大问题拆分成若干个小问题并求出这些小问题的解，记录下来。最后借由这些小问题的解推导出原始大问题的答案。

2.示例

2.1 上台阶

共十级台阶，从第一级走到第十级，每次可以走一步或者两步，一共有多少种走法？

常规方法：

如果采用常规的递归方法，会相对浪费资源和时间，原因如下：

在上述两种情况中，通过不同的走法到达第三级台阶后，都要接着计算第三级台阶走到第十级台阶的方法。
但其实第三级台阶到达第十级台阶的走法是一个固定的数字X，如果我们求出来这个数字并记录，那就可以只计算一次，在以后需要用到3->10的时候直接用就可以了。
而递归方法中这个X需要反复计算多次。

动态规划：

我们要求的是1->10有多少种走法，其实3->10，5->10的走法都是一个固定的数字。

关系如下：

所以：

X(1) = X(2) + X(3) ， X(n)代表从第n级台阶走到第10级台阶，每次走一步或者两步的走法次数

同理：

X(2) = X(3) + X(4) ；X(7) = X(8) + X(9)
以7，8，9为例：
9->10只能走一步，X(9) = 1
8->9->10 , 8->10 共有两种走法，X(8) = 2
7->8->10 , 7->8->9->10 , 7->9->10 共有三种走法 ， X(7) = 3
X(7) = X(8) + X(9)成立

只要以此方法逐步推导就可以得到想要的结果了。要求X(1)，我们简化为求X(2) + X(3)，再将X(2)，X(3)往后简化，并记录X(2)~X(9)的值，从而用动态规划求出最终的结果。

2.2 走迷宫

在一个4*4的网格里，从左上角走到右下角，每次只能向右走一格或者向下走一格，一共有多少种走法？

动态规划：
递归的方法同上，会有一个浪费时间和资源的问题，直接看动态规划。
因为每次只能向右走一格或者向下走一格，所以要到达终点（4，4），只有(3,4)–>(4,4)或者(4,3)–>(4,4)这两种可能。

所以显然 X(4,4) = X(4,3) + X(3,4) , X(m,n)代表从（1，1）走到（m,n）的走法次数，每次只能向右一格或者向下一格。
同理，X(4,3) = X(4,2) + X(3,3) , X(3,4) = X(3,3) + X(2,4)

逐步类推，即可得出最后的结果。