某不科学的超序列求和2

           zhy学长出的高考专题数学篇

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                           某不科学的超序列求和2（所以为什么不是某科学）

         给出n,m,k;

         求$\sum_{x_{1}=1}^{n}\sum_{x_{2}=1}^{x_{1}}\sum_{x_{3}=1}^{x_{2}}...\sum_{x_{m-1}=1}^{x_{m-2}}\sum_{x_{m}=1}^{x_{m-1}}\sum_{i=1}^{k}a_{i}x_{m}^{i}$

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 solution part 1

（多项式转化为单项式化简 并转化成组合问题）

    先求$\sum_{x_{1}=1}^{n}\sum_{x_{2}=1}^{x_{1}}\sum_{x_{3}=1}^{x_{2}}...\sum_{x_{m-1}=1}^{x_{m-2}}\sum_{x_{m}=1}^{x_{m-1}}\sum_{i=1}^{k}1$

    发现可以转化求长度为m，最小值取值为1-n的单调不上升的序列，初始为n，分配差分值即分配（n-1）个把差的减少1的机会，允许剩余，且允许为0的方案数。

    根据隔板法，求出方案数为$C_{n+m-1}^{m}$

 

 solution part 2

（组合数公式化简）

         考虑转化$x_{m}^{i}$，设$x_{m}$为n,i为m。

          $C_{n+m-1}^{m}$=$\frac{\prod_{i=n}^{n+m-1}i}{m!}$

         把n看成变量，m看成常量。

                 $C_{n+m-1}^{m}$可写成$\sum_{i=0}^{i=n}a_{i}n^{i}$

(待更）