某不科学的超序列求和2
zhy学长出的高考专题数学篇
题面感觉很有意思(毒瘤) 分享一下
某不科学的超序列求和2(所以为什么不是某科学)
给出n,m,k;
求$\sum_{x_{1}=1}^{n}\sum_{x_{2}=1}^{x_{1}}\sum_{x_{3}=1}^{x_{2}}...\sum_{x_{m-1}=1}^{x_{m-2}}\sum_{x_{m}=1}^{x_{m-1}}\sum_{i=1}^{k}a_{i}x_{m}^{i}$
solution part 1
(多项式转化为单项式化简 并转化成组合问题)
先求$\sum_{x_{1}=1}^{n}\sum_{x_{2}=1}^{x_{1}}\sum_{x_{3}=1}^{x_{2}}...\sum_{x_{m-1}=1}^{x_{m-2}}\sum_{x_{m}=1}^{x_{m-1}}\sum_{i=1}^{k}1$
发现可以转化求长度为m,最小值取值为1-n的单调不上升的序列,初始为n,分配差分值即分配(n-1)个把差的减少1的机会,允许剩余,且允许为0的方案数。
根据隔板法,求出方案数为$C_{n+m-1}^{m}$
solution part 2
(组合数公式化简)
考虑转化$x_{m}^{i}$,设$x_{m}$为n,i为m。
$C_{n+m-1}^{m}$=$\frac{\prod_{i=n}^{n+m-1}i}{m!}$
把n看成变量,m看成常量。
$C_{n+m-1}^{m}$可写成$\sum_{i=0}^{i=n}a_{i}n^{i}$
(待更)