数论之质因数

一、质因数基本理解

质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。

二、试除法求质因数及其个数

2.1 思想

要求一个数n的质因数，令i从2开始遍历到n/i，只要n可以被i整除，就一直除以i直到不能被整除，在这个过程中统计每个质因数个数。

• 为什么除的i都是质数？
  因为i是从2开始的，n能被i整除就会一直除以i，因此后面还能整除的i一定不会是前面遍历过的倍数。只有是质数才有可能成为n的因数
  比如i = 2，n能被2整除，那么n会一直整除2直到不能被2整除，因此i = 4时，n肯定不能被4整除，因为能被4整除的话前面一定能继续被2整除。
• 为什么i的范围是\([2,n/i]\)?

循环退出后要特判一下n是不是被整除为1，如果不为1，则说明此时的n为最后一个质因数。

2.2 代码实现

给定一个数n，求出他的质因数，以及每个质因数的个数。

void divide(int x)
{
    for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
        if (x % i == 0)
        {
            int s = 0;
            while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
            printf("%d %d\n",i, s);
        }
    if (x > 1) printf("%d %d\n",x, 1);
}