LIS模型之模板题 Python实现

Acwing1017. 怪盗基德的滑翔翼

1. 题目描述

怪盗基德的滑翔翼
给定一个长度为N的序列，怪盗基德可以从任意位置作为起点，并选择一个方向（向左或者向右），求能单调下降的最长距离为多少

1. 题目思路

前提是要先知道LIS（最长上升子序列）模型。

💡 理解：

1. 本题是LIS+理解题意。

2. 当怪盗基德确定方向之后：

   如果选择方向是反方向，下降的最长距离则相当于求该数列的最长上升子序列；如果是正方向，下降的最长距离则相当于该数列的反向数列的最长上升子序列。因此相当于求数列两个方向的最长上升子序列，然后这两个方向再求最大值。

3. 单调下降子序列=反向数列的最长上升子序列

2. 代码实现

# 朴素实现
def getLongest(a,n):
    dp = [1] * (n+1)
    for i in range(n):
        for j in range(i):
            if a[j] < a[i]:
                dp[i+1] = max(dp[i+1],dp[j+1] + 1)
    return max(dp)

t = int(input())
while t:
    n = int(input())
    a = list(map(int,input().split(" ")))
    len1 = getLongest(a,n) #O(N^2)
    a.reverse() #O(N)
    len2 = getLongest(a,n) #O(N^2)
    print(max(len1,len2))
    t -= 1

Acwing 1014 登山

1. 题目描述

登山

给定一个长度为N的序列，需满足：

1. 按编号递增顺序来浏览
2. 相邻两个点不能相同
3. 一旦下降，就不能上升了

问满足条件的最长浏览顺序有多少个

2. 题目思路

这道题也是LIS+理解题意。

1. 按编号递增顺序浏览 ——> 从头到尾浏览，不能回头
2. 相邻两个点值不同 ——> 满足单调性
3. 一旦下降，就不能上升了 ——> 登山过程中，如果一旦要递减往下走，就不能再向上走了。说明上升只能在下降山前做，加上第二个条件，即满足单调递增然后再单调递减

题目问最长的浏览顺序，即问该序列中先上升后下降子序列的最长值。

我们学过LIS模型，如果要应用到这个题目中，峰点就是一个分界点，峰点前的最长上升子序列可以用LIS模型做，峰点后的最长下降子序列也可以用LIS做。两个序列加起来就是以该点为峰点的最长先上升后下降子序列。

题目最后要问的是整体的最长浏览顺序，因此要向LIS模型一样，最后要遍历一下（LIS中是找以哪个点为结尾的LIS最长，本题是找以哪个点为峰点的先上升后下降子序列最长）。

💡 总结

路径是先上升后下降，有一个峰点。

可以列出该峰点的最长上升子序列和反向最长上升子序列，两个序列相加起来，即是该峰点的最长浏览顺序。

遍历所有的峰点，得出整体的最长浏览顺序

PS：记得相加后要减一，因为峰点被计算了两次！

3. 代码实现

n = int(input())
a = list(map(int,input().split(" ")))
dp1 = [1] * n
dp2 = [1] * n
# 正向
for i in range(n):
    for j in range(i):
        if a[j] < a[i]:
            dp1[i] = max(dp1[i], dp1[j] + 1)
# 反向
# 此题不适合将序列倒序后再计算，因为这样会影响下标的对应关系
for i in range(n-1, -1, -1):
    for j in range(n-1, i-1, -1):
        if a[j] < a[i]:
            dp2[i] = max(dp2[i], dp2[j] + 1)

res = 0
for i in range(n):
    res = max(res, dp1[i] + dp2[i] - 1)
print(res)

Acwing 1016 最大上升子序列和

1. 题目描述

最大上升子序列之和

给定一个长度为N的数列，求上升子序列的最大和为多少

2. 题目思路

这道题不是讲该问题转为LIS，因为就算求得的是LIS，也不是最佳答案。因此应该是去理解LIS的过程，并进行改进成解答该题的技巧

LIS的状态表示是最大长度，因此状态计算的时候考虑了a[i]是+1

但是这道题我们，状态表示的的集合也是上升序列，只是表示的属性是最大和，因此如果考虑了a[i]，状态计算就不是+1，而应该是考虑了a[i]本身的值。

💡 总结

总的来说，这道题应该将LIS模板题改成：

1. dp序列中初始化应该为a[i]本身
2. 只要满足上升条件（a[j] < a[i]）时，更新dp[i]的值，为dp[i]和dp[j] + a[i]之间的最大值

3. 代码实现

n = int(input())
a = list(map(int,input().split(" ")))
dp = [0] * n
for i in range(n):
    dp[i] = a[i]
    for j in range(i):
        if a[j] < a[i]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + a[i])
res = 0
for i in range(n):
    res = max(res, dp[i])
print(res)