Acwing1015. 摘花生 python实现

1. 题目描述#

给定一个矩阵，矩阵中元素的值表示花生的个数
从左上角走到右下角，只能向右走或者向下走，问能采到的花生最大值是多少

典型的数字三角形模型，求最大路径和

2. 题目思路#

1. 从集合角度考虑DP问题

• 状态表示$f[i,j]$

  • 集合：从左上角点$(1,1)$到$(i，j)$的所有路线
  • 属性：最大值

  理解：集合表示$f[i, j]$涵盖的范围，属性表示$f[i, j]$的值，代表的是最大值

  因此题目的答案就是$f[n,m]$

• 状态计算

  • 状态计算一般考虑的是走到该位置的最后一步是从哪里走的

  • 根据题意可知，走到$(i, j)$的最后一步，要不就是从上面$(i-1, j)$，要不就是从下面$(i,j-1)$走过来的

  • 要求f[i,j]的最大值，可以通过求上一步的最大值+从上一步到$(i, j)$的值【这样使得求解范围变小】，那上一步的最大值怎么求？其实就是状态的定义$f[i-1,j]$和$f[i,j-1]$，有两个“上一步”，那就看哪一步的结果更大，选哪一步了

  • 因此，状态的计算可以归纳为：

    $f[i,j]=max(f[i-1,j]+g[i,j],f[i,j-1]+g[i,j])$

    简化写就是 $f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i,j-1])+g[i,j]$

2. 剩下就是考虑初始化和遍历顺序的问题了。

   • 由于是从1开始计数的，因此可以利用初始化而不用去特判边界。我是根据边界应为$f[1,1] = g[1,1]$，而$f[1,1] = max(f[0,1] , f[1,0]) + g[1,1]$ 可知，应将$f$初始化为0

   • 从状态计算可以得知，要知道前面的结果才能推出后面的，因此应从上往下从左往右去遍历

3. 代码实现#

输入：

T组数据

行数R和列数C

R行C列花生个数

注意是从1开始计数的

输出：

花生数最大值

python3实现：

朴素做法，时间复杂度$O(n^2)$：

Copy
t = int(input())
while t:
    # 读取数据
    n, m = tuple(map(int, input().split(" ")))
    g = [0 for _ in range(n)] 
    dp = [[0 for _ in range(m + 1)]for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n):# 一行一行读
        g[i] = list(map(int, input().split(" ")))
    # dp
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m + 1):
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + g[i - 1][j - 1] # 是因为g是从0开始存的
    print(dp[n][m])
    t -= 1    

4. 扩展：如果要求的是最小值呢？#

如果还是$dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + g[i - 1][j - 1]$，那边界第一行和第一列会受到第0行和第0列的影响（因为dp的值都是0），因此对于边界需要特判。
特判的方法有两种：

1. 先把第一行和第一列的dp值处理好，然后i和j都从2到n遍历
2. 当i不为1才可以执行dp[i-1][j]+g[i][j];当j不为1才可以执行dp[i][j-1]+g[i][j]，此时只需特判左上角（既是第一行又是第一列）
   这里给出第二种的写法

Copy
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1,n+1):
        if i == 1 and j == 1:
            dp[i][j] = g[i-1][j-1]
        else:
            dp[i][j] = 0x3f3f3f3f
            if i > 1:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j] + g[i-1][j-1])
            if j > 1:
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][j-1] + g[i-1][j-1])

1018题的最低通行费就是这么解的。