11.26 模拟赛

复盘

T1。好难好难。先写了 \(\mathcal O(n^2)\) DP，但是没有任何前途。

尝试瞎推式子瞎猜性质。过了很久发现想得太复杂了。2h 过大样例。对拍。

T2。发现有 \(20\) 分很容易。这两个性质怎么做？

然后想性质时发现会正解了。好激动，赶紧写。

虽然细节挺多但是基本没调。T2 用了不到 1h。看起来大样例挺强就不对拍了。

T3 没任何思路。先把暴力写了看 T4。

T4 好神奇，竟然下发了 checker.cpp（虽然我不会用）。

直接模拟冒泡排序就能拿到 \(10\) 分。先写了。

发现还有 1h。想 T3 还是 T4？

算了想 T4 吧，这么有趣的题很少见。

尝试 \(n=8\)。发现可以拆成两个 \(n=4\)。\(n=4\) 的方法样例给了，用 \(4\) 步。但是怎么合并？

仿照归并排序肯定不行。

然后又是瞎试了一会，发现有个很简单的用 \(4\) 步合并的方法。这样 \(n=8\) 就能做到 \(8\) 步。能得 \(8\) 分……？太赚了太赚了。继续想别的测试点。

\(n=13\) 质数肯定不好做。\(n=16\)？这不跟上面一样，拆成两个 \(n=8\) 的，然后再用 \(8\) 步合并？

诶 \(n\) 是 \(2\) 的幂的是不是都能这样做。算一下……总共 \(26\) 分！

因为给的 checker.cpp 不会用所以我自己根据题意手写了一个。很快调完了。

还有 20min。继续做 T4 发现怎么优化这个算法都和冒泡排序一样分（\(1\) 分）。

检查了一下就交了。

\(100+100+12+26=238\)。没挂分。

总结

好的：

• 没挂分（这场不挂分真挺难的）
• T4 得到的部分分很多

不足：

• T1 花的时间有点久。尽管最后时间并没有十分紧张。

知识点

T1：数学，贪心

T2：set，线段树，贪心

题解

A. 邻间的骰子之舞

为了方便，让整个过程结束后再复制一次。

令我们在有 \(a_1,a_2,\dots,a_m\) 个字符时进行了复制操作。需要满足：

• \(1=a_1<a_2<\dots<a_m\)；
• \(a_m \ge n\)；
• \(a_i \bmod a_{i-1}=0\)。

那么答案为 \(mx + y\sum_{i=2}^m \frac{a_i-a_{i-1}}{a_{i-1}}\)。

化简一下 \((m-1)(x-y)+ y\sum_{i=2}^m \frac{a_i}{a_{i-1}}\)。

令 \(k_i=\frac {a_i}{a_{i-1}}\)，\(k_1 = a_1\)。

注意到 \(a_m = \prod_{i=2}^m k_i\)。所求是 \(\sum_{i=2}^m k_i\)。问题变成了：

找 \(m-1\) 个数，使得乘积 \(\ge n\) 且和最小。求这个最小和。

二分判断：

是否存在 \(m\) 个数，使得其和 \(\le mid\)，且乘积 \(\ge n\)？

和一定，差小积大。肯定先平均分。剩下的能铺多少铺多少。

B. 星海浮沉录

若答案为 \(0\)，则意味着数组中离得最近的两个 \(0\) 中间的数的数量 \(\ge x\)。

在答案不为 \(0\) 的情况下，若答案为 \(1\)，则意味着数组中离得最近的两个 \(1\) 中间的数的数量 \(\ge x\)。

令 \(p_i\) 表示数组中离得最近的两个 \(i\) 中间的数的数量。那么答案为最小的满足 \(p_i \ge x\) 的 \(i\)。

用 set 维护这个 \(p\)，那么找到答案可以线段树上二分。