11.25 模拟赛

复盘

T1 好像很可做。推式子启动。1h 过了大样例。

T2。怎么又是组合数，比普通的范德蒙德卷积多一个上限？这可做吗？好像不会，部分分启动。

有 \(45\) 分暴力。两个简单的性质能做到 \(55\) 分。但 \(n-m\le 20\) 真的没有思路。事实上这个东西非常好做（观察组合数什么是否为 \(0\)）但是没想到。

T3。\(\mathcal O(n^2)\) 好像非常简单。直接开写！

……？复杂度好像算错了，是三次方的。重新想。

发现还是很简单。很快写完了。

赛后发现这个做法是能通过 \(t\) 全部相同的。但是没写。

预计 \(100+55+30+0\)，然后 T3 没开 long long 炸了 \(20\)。

总结

好的：

• T1 做对了。但好像比正解复杂，但是积累了一个方案数转期望再转方案数的 trick。

不足：

• long long
• 最后时间太紧张，T3 是可以拿 \(45\) 分的（如果开了 long long）
• T2 没做出来。感觉头脑清醒的话做出来问题不大。

知识点

T1：基环树，数学

T2：数学

T3：树形 DP，换根 DP

题解

A. 强连通分量

赛时写的打草用的，发现可以直接当总结的题解。

考虑一颗基环树的答案。

环上有 \(a\) 个点，环外有 \(b\) 个点。

枚举总共删 \(x\) 个点。

如果全删环外，scc 数量为 \(b+1-x\)。

如果删 \(i\) 个环内，scc 数量为 \(b+b-x\)。

所以要求的是：

\[\sum_x\left( (b+1-x) \dbinom bx + \sum_{i=1}^a \dbinom ai \dbinom b{x-i} (a+b-x)\right) \]

怎么快速求：

\[\sum_{i=1}^a\dbinom ai \dbinom b{x-i} \]

范德蒙德卷积！

组合意义是，总共选 \(x\) 个物品，从 \(a\) 中选 \(i\) 个，从 \(b\) 中选 \(x-i\) 个，\(i \ge 1\)，方案数。

可以看作从 \(a+b\) 中选 \(x\) 的方案数，减去从 \(b\) 中选 \(x\) 的方案数。

\[\dbinom {a+b}x-\dbinom bx \]

怎么合并两颗子树的答案？

转成期望。然后直接线性性相加。

\[(\dfrac a{2^A}+\dfrac b{2^B}) \times 2^{A+B} \]

B. 《原神》

快进到求：

\[\sum_{i=0}^{n} f(i)\dbinom xi\dbinom {m-x}{n-i} \]

其中 \(f(i) = 2 \operatorname{highbit}(i+1)\)。

注意到对于 \(i \in [2^{j-1}-1,2^j-2]\)，都有 \(f(i)=2j\)，因此可以分成 \(\log\) 个段，分别计算。

为了方便记 \(l_j = 2^{j-1}-1,r_j = 2^j-2\)。

\[\sum_{j=1}^{30} 2j \times\sum_{i=l_j}^{r_j}\dbinom xi \dbinom {m-x}{n-i} \]

考虑如何快速计算 \(g(x,k)=\sum\limits_{i=0}^k\dbinom xi \dbinom {m-x}{n-i}\)。那么上式的后半部分就是 \(g(x,r_j)-g(x,l_j-1)\)。

考虑其组合意义：

• 有 \(m\) 个物品，要选 \(n\) 个，且前 \(x\) 个中选择的物品 \(\le k\) 个。

一个事实是当 \(k \ge x\) 时 \(g(k,x)=\dbinom mn\)。

考虑 \(g(k,x) \to g(k,x+1)\) 的增量，或者说 DP 转移。

注意到只有一种方案是不合法且被转移过去的，即 第 \(x+1\) 个物品选，且前 \(x\) 个物品中选了 \(k\) 个。这种情况的方案数是 \(\dbinom xk \dbinom {m-x-1}{n-k-1}\)。所以：

\[g(k,x+1) = g(k,x)-\dbinom xk \dbinom {m-x-1}{n-k-1} \]

C. 叶子

首先每个叶子最终走到的有效计分点，一定是 \(s \rightsquigarrow t\) 路径的一段前缀。不妨二分这个点 \(mid\)。然后需要 check：

• 所有能到达 \(mid\) 的叶子节点中，\(s \rightsquigarrow t\) 是否是长度最短的。

不妨将 \(t\) 设为根。那么能到达 \(mid\) 的叶子节点，等价于 \(mid\) 的子树内的叶子节点。

于是对于每次询问给定的 \(t\) 都做一遍这样的树形 DP。复杂度 \(n|\{t_{1\sim q}\}|\)。有 \(45\) 分。

考虑优化。我们把 \(s \rightsquigarrow t\) 的路径画出来：

当以 \(t\) 为根时，\(v_1\) 的子树仍是原始的子树，而 \(v_2\) 的子树全部取了反。于是换根 DP。