11.25 模拟赛

复盘

T1 好像很可做。推式子启动。1h 过了大样例。

T2。怎么又是组合数，比普通的范德蒙德卷积多一个上限？这可做吗？好像不会，部分分启动。

有 $45$ 分暴力。两个简单的性质能做到 $55$ 分。但 $n-m\le 20$ 真的没有思路。事实上这个东西非常好做（观察组合数什么是否为 $0$）但是没想到。

T3。$\mathcal{O}(n^2)$ 好像非常简单。直接开写！

……？复杂度好像算错了，是三次方的。重新想。

发现还是很简单。很快写完了。

赛后发现这个做法是能通过 $t$ 全部相同的。但是没写。

预计 $100+55+30+0$，然后 T3 没开 long long 炸了 $20$。

总结

好的：

• T1 做对了。但好像比正解复杂，但是积累了一个方案数转期望再转方案数的 trick。

不足：

• long long
• 最后时间太紧张，T3 是可以拿 $45$ 分的（如果开了 long long）
• T2 没做出来。感觉头脑清醒的话做出来问题不大。

知识点

T1：基环树，数学

T2：数学

T3：树形 DP，换根 DP

题解

A. 强连通分量

赛时写的打草用的，发现可以直接当总结的题解。

考虑一颗基环树的答案。

环上有 $a$ 个点，环外有 $b$ 个点。

枚举总共删 $x$ 个点。

如果全删环外，scc 数量为 $b+1-x$。

如果删 $i$ 个环内，scc 数量为 $b+b-x$。

所以要求的是：

$$\sum _x((b+1-x){\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{x})}+\sum _{i=1}^a{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{x-i})}(a+b-x))$$

怎么快速求：

$$\sum _{i=1}^a{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{x-i})}$$

范德蒙德卷积！

组合意义是，总共选 $x$ 个物品，从 $a$ 中选 $i$ 个，从 $b$ 中选 $x-i$ 个，$i\ge 1$，方案数。

可以看作从 $a+b$ 中选 $x$ 的方案数，减去从 $b$ 中选 $x$ 的方案数。

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{x})}-{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{x})}$$

怎么合并两颗子树的答案？

转成期望。然后直接线性性相加。

$$({\displaystyle \frac{a}{2^A}}+{\displaystyle \frac{b}{2^B}})\times 2^{A+B}$$

B. 《原神》

快进到求：

$$\sum _{i=0}^{n}f(i){\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-x}{n-i})}$$

其中 $f(i)=2\mathrm{highbit}(i+1)$。

注意到对于 $i\in [2^{j-1}-1,2^j-2]$，都有 $f(i)=2j$，因此可以分成 $\log$ 个段，分别计算。

为了方便记 $l_j=2^{j-1}-1,r_j=2^j-2$。

$$\sum _{j=1}^{30}2j\times \sum _{i=l_j}^{r_j}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-x}{n-i})}$$

考虑如何快速计算 $g(x,k)=\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{i})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-x}{n-i})}$。那么上式的后半部分就是 $g(x,r_j)-g(x,l_j-1)$。

考虑其组合意义：

• 有 $m$ 个物品，要选 $n$ 个，且前 $x$ 个中选择的物品 $\le k$ 个。

一个事实是当 $k\ge x$ 时 $g(k,x)={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})}$。

考虑 $g(k,x)\to g(k,x+1)$ 的增量，或者说 DP 转移。

注意到只有一种方案是不合法且被转移过去的，即 第 $x+1$ 个物品选，且前 $x$ 个物品中选了 $k$ 个。这种情况的方案数是 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-x-1}{n-k-1})}$。所以：

$$g(k,x+1)=g(k,x)-{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{m-x-1}{n-k-1})}$$

C. 叶子

首先每个叶子最终走到的有效计分点，一定是 $s⇝t$ 路径的一段前缀。不妨二分这个点 $mid$。然后需要 check：

• 所有能到达 $mid$ 的叶子节点中，$s⇝t$ 是否是长度最短的。

不妨将 $t$ 设为根。那么能到达 $mid$ 的叶子节点，等价于 $mid$ 的子树内的叶子节点。

于是对于每次询问给定的 $t$ 都做一遍这样的树形 DP。复杂度 $n|\{t_{1\sim q}\}|$。有 $45$ 分。

考虑优化。我们把 $s⇝t$ 的路径画出来：

当以 $t$ 为根时，$v_1$ 的子树仍是原始的子树，而 $v_2$ 的子树全部取了反。于是换根 DP。