11.20 模拟赛
总结
完啦 A 不会做。肯定是神秘贪心题。不太好模拟啊。
算了猜个结论吧。\(m=1\) 是经典问题，把这个稍微引申一下。得到了一个 multiset 维护的做法。
然后猜对了。15min 切掉。很快码了一个对拍然后一直拍到比赛结束。
看 B。感觉不难。尝试设计 DP。
发现我啥也不会，所以先写个暴力找规律吧。
法克，暴力咋写。先跳吧。
C 一眼不可做啊。基本上没怎么想。看 D。
\(20\) 分不难。暴力排个序就好。\(n=2000\) 平方带 \(\log\) 能过吗？……时限 6s 那没事了。
想想性质 A。这不暴力，每次求个区间内的后继，然后最多只会跳 \(\log\) 次吗？主席树启动！
然后 \(60\) 到手。好水啊。
正解是不可能的。润了。回到 B。
稍微画了几个图模拟了一下，差不多在 10:50 左右的样子得到了一个很劣而且很没前途的解法。复杂度未知，大概能得 \(55\) 分。
写了很久，中间的关键部分重构了三四次。发现是 \(\mathcal O(n^5)\) 的。或许 \(40\) 分。
但是样例不过啊。调了很久（差不多在结束前 10min）过了样例。
结果跑得很快啊。最后一个大样例只跑了 6s。卡常启动！
然后时间太紧了只卡到 4.9s。不管了交吧。
\(100+60+0+20\)。T4：if (l1 == r1 && l2 == r2)。
总结
好的：
- T2 写完+调完了。虽然和正解 几乎没有关系。
不足：
- T4 若只错误。白丢 \(40\)。
- 基本没给 T3 的思考时间。
知识
T1：贪心，mutiset
T2：DP，组合
T4：复杂度分析，主席树
题解
A. 机械师 II
贪心。数据结构维护当前每个机械玩偶已经解决的 \(r\) 最大的事件。将事件按 \(r\) 排序，每次找到数据结构中 \(\le l_i\) 的最大的机械玩偶，让它做 \(i\)。找不到就跳过这个事件。
不难发现这个数据结构可以是 multiset。
B. 守墓人
首先求 \(f(u)\) 表示 \(u\) 的子树有多少种 dfs 方法。不难发现：
显然一个子树内的点在 dfs 序上是连续的。或者说，遍历到 \(u\) 后，接下来遍历的 \(sz_u\) 个点一定是 \(u\) 的子树。
画个小图。比如我们想求 \(v\) 的答案。
那么 dfs 序一定长这样：
其中两个蓝色括号里，一定会填上 \(1,3,4\) 这些子树。比如：
此时还有一段前缀和一段后缀未确定。因为这些点是 \(u\) 子树外的。
于是我们可以只对子树外的点的顺序计数。令 \(g(u,x)\) 表示 dfs 序第 \(x\) 个位置是 \(u\)，这个前缀和后缀的方案数。显然答案为 \(g(u,x) \times f(u)\)。
如何转移？考虑 \(g(u) \to g(v)\) 的转移。
分别枚举 \(u\) 在 dfs 序中的位置和 \(v\) 在 dfs 序中的位置，不妨设为 \(i, j\)，且 \(i < j\)。
根据上面说的，\([i+1,j-1]\) 这一段肯定要填上 \(\{1,3,4\}\) 的子集的子树。剩下的要填在后面。dfs 序中剩下的位置已经被 \(g(u,i)\) 考虑了，不用管它。
还是这张图。如果这样填：
那么转移条件是 \(sz_4+sz_1=j-i-1\)。然后 \(g(u,i) \times f(4) \times f(1) \times f(3) \to g(v, j)\)。
显然这一坨 \(f\) 的乘积可以最后一块考虑。我们只需要考虑 \(f(u,i) \to f(v,j)\)。也就是求有多少个 \(\{1,3,4\}\) 的子集的 \(sz\) 和为 \(j-i-1\)。
这是一个背包问题。对于一个 \(v\) 而言，计算这个答案的复杂度是立方级别的。也就是总复杂度 \(\mathcal O(n^4)\)。
注意到子树 \(2\) 的根对应的这个集合是全集（\(\{1,2,3,4\}\)）去掉一个元素。于是考虑先对全局做一遍背包，然后每次退掉一个元素。也就是 P4141消失之物 了。
D. 先知
考虑这样操作：
- 找到 \([l1,r1]\) 中的最大值 \(x\)。
- 找到 \([l2,r2]\) 中最大的 \(<x\) 的值 \(y\)。
- 如果 \(y \ge \lfloor x / 2 \rfloor\) 则说明答案为 \(x+y\)，直接退出。
- 否则，找到 \([l1,r1]\) 中最大的满足 \(\lfloor x' /2 \rfloor \le y\) 的 \(x'\)。如果 \(x' > y\) 则说明答案为 \(x+y\)，直接退出。
- 否则，\(x \gets x'\)，回到第二步。
正确性显然。
复杂度为啥正确？
如果第三步没有退出，一定有 \(y < \lfloor x / 2 \rfloor\)。如果第四步没有退出，一定 \(x' \le y\)。也就是说如果这一轮没有结束那么 \(x\) 一定减少一半。
所以复杂度是 \(\log\) 的。
找区间内一个数的前驱可以主席树。总复杂度 \(\mathcal O(n \log V \log n)\)。
