[ABC221H] Count Multiset

给定 $n,m$。对于每个 $k=1,2,\dots ,n$，求解有多少大小为 $k$ 的正整数可重集的元素和为 $k$，且每个元素的出现次数都 $\le m$。

$m\le n\le 5000$。

可重集转化成单调不降的序列 $a$。在通过差分转化成任意非负整数序列 $b$（需要保证 $b_1>0$）。

可重集中所有元素的出现次数都 $\le m$，等价于 $a$ 中极长连续段的长度 $\le m$，等价于 $b$ 中不存在连续 $m-1$ 个 $0$。

考虑如何通过 $b$ 反推 $\sum a_i$。不难发现每个 $b_i$ 都被贡献了 $n-i+1$ 次。于是：

$$\sum a_i=\sum b_i\times (n-i+1)$$

考虑对 $b$ DP。设 $f(i,j)$ 表示考虑 $b_1\dots b_i$ 且目前 $b$ 中的和为 $j$ 的方案数。转移枚举 $b_i$ 以及 $1\sim i-1$ 中最后一个 $0$ 的位置。前者调和级数，后者可以前缀和优化。总复杂度 $\mathcal{O}(n^2\log n)$。