CF837D Round Subset

我们把一个数的 roundness 值定义为它末尾 \(0\) 的个数。

给你一个长度为 \(n\) 的数列，要求你从中选出 \(k\) 个数，使得这些选出的数的积的 roundness 值最大。

\(k \le n \le 200\)，\(a_i \le 10^{18}\)。

显然答案是取出的数中，所有 \(2\) 的出现次数和 \(5\) 的出现次数的 \(\min\)。

DP。

\(\min\) 非常不好维护。不尝试将 \(\min\) 放在状态/值里。

于是我们尝试把下面这 \(4\) 个值放在 DP 里：

• \(i\)：考虑前 \(i\) 个数；
• \(j\)：选 \(j\) 个；
• \(a\)：出现过 \(a\) 个 \(2\)；
• \(b\)：出现过 \(b\) 个 \(5\)。

最暴力的是状态四维，值为 bool。复杂度 \(\mathcal O(n^4 \log_2 V \log_5 V)\)。爆。

稍微好一点的，形如 \(f(i,a,b)=j\)，表示前 \(i\) 个数，出现 \(a\) 个 \(2\)，\(b\) 个 \(5\)，最少需要选几个数。这样能做到 \(\mathcal O(n^3 \log_2 V \log_5 V)\)。还是爆。

经过一些尝试，发现 \(f(i,j,b)=a\) 是最优的，表示前 \(i\) 个数，选了 \(j\) 个，其中有 \(b\) 个 \(5\)，\(2\) 最多几个。原因是 \(a\) 的上限最大（\(\log_2 V\)）。于是复杂度是 \(\mathcal O(n^3 \log_5 V)\)。

但是空间炸。加个滚动就好啦。

答案是：

\[\max \min(i,f(n,k,i)) \]