10.30 模拟赛

复盘

T1。好像很好做。先想了一个 \(\mathcal O(n |c_{i,j}|^2)\) 但是带四倍常数的做法。感觉加上一些优化和卡常后问题不大。于是开写。

代码好长！！！调试好久！！！

调完后样例 6 跑 20s，最终优化后还是 7s。实在优化不了了于是考虑换做法。

发现枚举三条边后，剩下的用类似扫描线边扫边用树状数组维护即可。复杂度跟上面一样，但是没了四倍常数，而且树状数组跑的飞快。于是写。

然后又调了好久。

最后样例 6 2.7s。时限 2s 但实在优化不动了。弃之。

笑点解析：

结果就样例 6 超时。

T2。二分是肯定的。然后呢？特殊性质是什么玩意？

哦性质 C 好简单写了。\(n \le 20\) 好简单写了。然后没一点思路。

T3。出题人l了t大的。化身总司令跑路。

T4 什么牛魔题面？\(k \le [2,4]\)？哦 \(k=2\) 就是个二维数点模板题。快写。

然后没写完。

预期 \(?+45+0+0\)，实际 \(100+50+4+0=154\)。T1 竟然过了。T2 算错分了，确实应该是 \(50\)。T3 过了 \(T = 1\)？？？

总结

好的：
- T1 过了。
- T2 想到了二分（虽然是最简单的一步）
不足：
- T4 丢了 \(17\) 分。
- T3, T4 读懂题的时间太晚啦。

知识点

T1：枚举，二维数点。
T2：二分，猜结论。

题解

A. 消毒

我们为每种病毒，画一个能完全包含住所有这种病毒的矩形。那么问题就变成了，选择一个面积 \(\le S\) 的矩形，使得其包含的病毒矩形数量最大。

注意到病毒矩形只有 \(500\) 种，而答案矩阵的边如果能贴着某个病毒矩形的边一定更优。也就是说答案矩形的上下左右边界分别只有 \(500\) 种可能的取值。

不妨枚举上下边界。然后把所有不在这两条线内的病毒矩形删掉。

再枚举左端点 \(l\)。此时最大的右端点 \(r\) 可以直接算出来。于是问题变成了，快速求没被删除的子矩阵中，左边界 \(\ge l\)，右边界 \(\le r\) 的数量。这是一个二维数点问题，树状数组即可。

复杂度 \(\mathcal O(|c_{i,j}|^3 \log n)\)。加上一些小优化后可过。

B. 卡牌

首先二分答案。我们需要判断：是否存在一种操作方法，使得第 \(m\) 大 \(\ge mid\)。

我们将 \(\ge mid\) 的数看作 \(1\)，\(< mid\) 的数看成 \(0\)。于是我们要求，有一个 \(01\) 序列，每次将奇数位置上的数写在黑板上，然后选择一个数删掉，这样操作结束后黑板上最多能有多少个 \(1\)。如果这个数量 \(\ge m\) 则 check 合法。

可以证明先将所有 \(0\) 删掉，再将剩下的 \(1\) 删掉是最优的。而所有 \(0\) 删完后剩下的 \(1\) 的贡献可以直接算（设有 \(k\) 个 \(1\)，则贡献为 \(\sum_{i=1}^k\lceil \frac i2 \rceil\)）。所以我们只需要考虑每一步删掉哪个 \(0\) 最优。

对于一个极长 \(1\) 段，设其长度为 \(k\)。若 \(k\) 为偶数，那么在所有 \(0\) 都删完之前的任意一轮，这其中一定会有恰好 \(\frac k2\) 个被写在黑板上（即这 \(\frac k2\) 个位置是奇数）。若 \(k\) 为奇数，我们单独拿出最左边（或最右边）的一个，那么剩下的也是一个长度为偶数的块。

我们把上面说的偶数块的 \(1\) 的贡献提前计算好再删掉后，整个序列会变成若干个连续 \(0\) 块被 \(1\) 隔开的样子（\(0001000010101001\dots\)）。考虑这样一组构造的操作方案：