10.23 模拟赛

炼石计划 10 月 05 日 NOIP 模拟赛 #9【补题】 - 比赛 - 梦熊联盟

复盘

既然以前做过，复盘貌似不重要了吧？

T2 很快写完了。

T1 想到堆就做完了。

T3 忘了咋做了，好像是个 DP 但剩下忘了。于是写了暴力分跑路了。

T4 正解显然不可能会的。打满了暴力。

最后 T1 数组开小挂了 $50$。其余没有挂分。

总结

• 好的：
• 不足：
  • 奇葩挂分。
  • 做过的题不会做。

知识点

T1：贪心，堆。

T2：图论。

T3：DP，快速排序。

T4：并查集，组合计数。

A. 序列加法机

求出 $c_i=|a_i-b_i|$。如果 $c$ 中不为 $0$ 的元素数 $>m$ 则无解。否则可以证明一定有解。

于是变成了对 $c$ 做 Carrots for Rabbits。

考虑贪心。

首先令 $f(i,j)$ 表示将一个元素 $i$ 分成 $j$ 部分的最小代价。显然能平均分就平均分。

初始时，显然每个元素都只被分成了一部分。用一个堆，维护每个元素从 $j$ 部分变成 $j+1$ 部分后，操作代价会减少多少。每次挑变化最大的变化。这样跌倒 $m$ 次即可。

B. 字符串构造机

T2 - 洛谷专栏

C. 快速排序机

显然 $a$ 合法等价于 $[l,m-1],[m+1,r]$ 都合法。所以可以 DP。

最暴力的，设 $f(l,r,h)$ 表示若要对 $a=(l,l+1,\dots ,r)$ 进行排序，且递归深度至多为 $h$ 的合法 $a$ 的方案数。

考虑转移。枚举 $a_r=k$，即快速排序时选择的基准，则：

$$f(l,r,h)=\sum _{k=l}^r{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{r-l}{k-l})}f(l,k-1,h-1)f(k+1,r,h-1)$$

即，除 $k$ 外总共 $r-l$ 个位置，这些位置中有 $k-l$ 个位置 $<k$，这些位置最终将按照原来的顺序摆放到 $k$ 之前，剩下的位置也会按照原来的顺序放到 $k$ 之后，所以会有个组合系数。

注意到 $f(l,r,h)=f(1,r-l+1,h)$。于是就能做到 $\mathcal{O}(n^3)$。

$$f(i,j)=\sum _{k=1}^i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{i-1}{k-1})}f(k-1,j-1)f(i-k,j-1)$$

D. 格子衫染色机

显然对 $k$ 分类讨论，

$k=0$ 显然答案一定在 $0,1,2$ 内。极易。

$k=1$。

注意到 $x_{i,j}=x_{1,1}\oplus x_{i,1}\oplus x_{1,j}\oplus [imod2=0\wedge jmod2=0]$。

不妨枚举 $x_{1,1}$。那么 $x_{i,1}\oplus x_{1,j}$ 可以表示成一个常数（$0$ 或 $1$）。

因此建边。如果存在一个全为 $1$ 的奇环则无解。否则答案为 $2$ 的连通块数量次幂乘 $2$ 的孤立点数量次幂。这里连通块只看 $0$ 的边。

然后 $k=2$ 不会了。