10.16 模拟赛

炼石计划 9 月 29 日 NOIP 模拟赛 #5【补题】 - 比赛 - 梦熊联盟 (mna.wang)

复盘

T1 有 80 的暴力。想了一会正解但不会做于是放弃了。

T2。怎么这么像双栈排序？操作 3 是什么鬼？$n\le 5$ 爆搜不会打？不管了先跳了。

T3。一眼蒙德里安的梦想+矩阵加速。复杂度未知，说不定是正解，不是也有 65 分。先写。

写+调+卡常 2h，过了大样例！此时我以为大样例就是极限数据，我以为我过了。实际上大样例 $len=1000$，最后一档分 $len=3000$。

T4 好像有好多部分分。但最终只拿了爆搜的 $15$。

然后打了 T2 的特殊性质。

预期 $80+20+100+15=215$，实际 $0+0+65+0=65$。

总结

不足：

• 挂分太多；
• 对大样例过于信任；

知识点

• T1：数学
• T3：状压 DP，矩阵快速幂。

题解

A. 公约数神庙

显然可以暴力建图。复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。

我们考虑这张图的构成。由于 $1000$ 内的质数只有 $148$ 个，于是我们枚举质数 $p$，将 $a$ 中所有能被 $p$ 整除的数取出来，从左往右练成一条链。那么这 $148$ 条链的传递闭包与上面的图完全相同。

对于一条链 $(i_1,i_2,\dots ,i_k)$ 而言，如果我们达到了某个 $i_j$，那么 $i_{j+1\dots k}$ 显然都可以到达。也就是说，我们并不关心我到了链上的哪个位置，而只需要关注哪个后缀是我将来能跳到的。

考虑设 $f(i,j)$ 表示从 $i$ 开始跳，最小能跳到第 $j$ 跳链的哪个位置。

考虑如何处理查询 $x,y$。注意到 $2\times 3\times 5\times 7\times 11>1000$，也即 $1000$ 内的数至多只有 $4$ 个质因子，也即一个数至多同时属于 $4$ 条链。那么如果我们想到达 $y$，我们可以到达 $y$ 所在的任意一条链 $p$，即 $f(x,p)$。如果 $f(x,p)\le y$ 那么合法。

考虑如何预处理所有 $f(i,j)$。枚举 $i$ 的出边即可。

$$f(i,j)=\{\begin{array}{ll}i& j\mid i\\ \underset{i\to k}{min}f(k,j)& j\nmid i\end{array}$$

其中 $i\to k$ 表示一条 $i$ 的出边，显然最多 $4$ 条。

C. 城堡考古

显然蒙德里安的梦想。加上最朴素的矩阵快速幂优化后复杂度能做到 $\mathcal{O}(\log r\times m^6)$。

考虑优化矩阵大小。注意到对于压缩后的状态，从第一列的 $0$ 开始搜索，最多只会访问到 $20$ 个不同的状态，优于刚才的 $64$。所以矩阵大小可以改为 $21\times 21$，可过。

D. 生命之树

设 $f(u,i)$ 表示 $u$ 子树的答案，且 $u$ 是通过 $i$ 点亮的。注意点亮 $u$ 的可能不止一个点，这里 $i$ 是其中任意一个。

考虑转移。首先如果 $dis(u,i)>d(u)$ 则 $f(u,i)\leftarrow +\mathrm{\infty }$，否则初始化 $f(u,i)\leftarrow c_i$。

考虑枚举 $u$ 的儿子 $v$。考虑 $v$ 的子树对 $f(u,i)$ 的贡献。

若 $v$ 这个点也是通过 $i$ 点亮的，那么 $f(v,i)-c_i\to f(u,i)$。这里 $-c_i$ 的原因是 $i$ 的贡献分别在 $u,v$ 都计算了一次。

否则，若 $v$ 不是通过 $i$ 点亮的，那么 $\underset{j\in [1,n]}{min}f(v,j)\to f(u,i)$。边转移边维护 $g(v)=\underset{j\in [1,n]}{min}f(v,j)$ 即可做到 $\mathcal{O}(1)$ 转移。

总复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$。