10.16 模拟赛
炼石计划 9 月 29 日 NOIP 模拟赛 #5【补题】 - 比赛 - 梦熊联盟 (mna.wang)
复盘
T1 有 80 的暴力。想了一会正解但不会做于是放弃了。
T2。怎么这么像双栈排序？操作 3 是什么鬼？\(n \le 5\) 爆搜不会打？不管了先跳了。
T3。一眼蒙德里安的梦想+矩阵加速。复杂度未知，说不定是正解，不是也有 65 分。先写。
写+调+卡常 2h，过了大样例！此时我以为大样例就是极限数据，我以为我过了。实际上大样例 \(len = 1000\)，最后一档分 \(len = 3000\)。
T4 好像有好多部分分。但最终只拿了爆搜的 \(15\)。
然后打了 T2 的特殊性质。
预期 \(80+20+100+15=215\)，实际 \(0+0+65+0=65\)。
总结
不足：
- 挂分太多；
- 对大样例过于信任；
知识点
- T1：数学
- T3：状压 DP，矩阵快速幂。
题解
A. 公约数神庙
显然可以暴力建图。复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。
我们考虑这张图的构成。由于 \(1000\) 内的质数只有 \(148\) 个，于是我们枚举质数 \(p\)，将 \(a\) 中所有能被 \(p\) 整除的数取出来，从左往右练成一条链。那么这 \(148\) 条链的传递闭包与上面的图完全相同。
对于一条链 \((i_1,i_2,\dots,i_k)\) 而言，如果我们达到了某个 \(i_j\)，那么 \(i_{j+1\dots k}\) 显然都可以到达。也就是说，我们并不关心我到了链上的哪个位置，而只需要关注哪个后缀是我将来能跳到的。
考虑设 \(f(i, j)\) 表示从 \(i\) 开始跳，最小能跳到第 \(j\) 跳链的哪个位置。
考虑如何处理查询 \(x, y\)。注意到 \(2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 > 1000\)，也即 \(1000\) 内的数至多只有 \(4\) 个质因子，也即一个数至多同时属于 \(4\) 条链。那么如果我们想到达 \(y\)，我们可以到达 \(y\) 所在的任意一条链 \(p\)，即 \(f(x, p)\)。如果 \(f(x, p) \le y\) 那么合法。
考虑如何预处理所有 \(f(i, j)\)。枚举 \(i\) 的出边即可。
其中 \(i \to k\) 表示一条 \(i\) 的出边，显然最多 \(4\) 条。
C. 城堡考古
显然蒙德里安的梦想。加上最朴素的矩阵快速幂优化后复杂度能做到 \(\mathcal O(\log r \times m^6)\)。
考虑优化矩阵大小。注意到对于压缩后的状态，从第一列的 \(0\) 开始搜索，最多只会访问到 \(20\) 个不同的状态，优于刚才的 \(64\)。所以矩阵大小可以改为 \(21 \times 21\)，可过。
D. 生命之树
设 \(f(u, i)\) 表示 \(u\) 子树的答案，且 \(u\) 是通过 \(i\) 点亮的。注意点亮 \(u\) 的可能不止一个点，这里 \(i\) 是其中任意一个。
考虑转移。首先如果 \(dis(u, i) > d(u)\) 则 \(f(u, i) \gets +\infty\)，否则初始化 \(f(u, i) \gets c_i\)。
考虑枚举 \(u\) 的儿子 \(v\)。考虑 \(v\) 的子树对 \(f(u, i)\) 的贡献。
若 \(v\) 这个点也是通过 \(i\) 点亮的，那么 \(f(v, i) - c_i \to f(u, i)\)。这里 \(-c_i\) 的原因是 \(i\) 的贡献分别在 \(u, v\) 都计算了一次。
否则，若 \(v\) 不是通过 \(i\) 点亮的，那么 \(\min_{j \in [1, n]} f(v, j) \to f(u, i)\)。边转移边维护 \(g(v) = \min_{j\in [1, n]} f(v,j)\) 即可做到 \(\mathcal O(1)\) 转移。
总复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。
