10.8 模拟赛（2023 CSP-S 十连测 #5）

炼石计划 10 月 28日 CSP-S 十连测 #5【补题】 - 比赛 - 梦熊联盟 (mna.wang)

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T1 秒了。30min。

T2 题目越短越难。但是链的是经典题目，写了。小样例太水，大样例太大，不方便猜结论。于是先写暴力然后自己造样例。

模拟了五六组感觉可以按照 lca 的深度降序排序，然后能选就选。这个做法和链兼容。

但是需要维护树上路径加路径查 \(\max\)。树剖秒了。

三个做法融合起来的代码 5KB。调了 1e4514min 后树剖终于不挂了。

对拍。

T3 \(n \le 25\)？？好像一分不会啊。每条边都包含 "BJMP" 感觉好做，想。

但是 \(T \le 10^9\) 什么做法都过不了。放弃。

算了先写 \(n \le 5, T \le 10\) 的爆搜吧。写一半发现加个记忆化就是个 DP，复杂度 \(\mathcal O(16nT)\)，能过前两个部分分。

T4 \(n, k \le 15\) 爆搜过不去啊。好像又一分不会了。

我相信数据是很水的。于是写了爆搜加小剪枝。

预计 \(100+100+40+[0, 15] = [240,255]\)，实际 \(100+100+50+15=265\)。树剖没挂就是强。

总结

好的：

• 树链剖分没写挂。
• 没有挂分。

不足：

知识点

• T1：递推，矩阵加速；
• T2：贪心，树链剖分，LCA；
• T3：DP，矩阵加速；
• T4：

题解

A. 男女排队

显然有递推：

f[i][0] = f[i - 1][0] + f[i - 1][2];
f[i][1] = f[i - 1][0];
f[i][2] = f[i - 1][1] + f[i - 1][3];
f[i][3] = f[i - 1][1];

矩阵加速即可。

B. 树上最多不相交路径

模拟几组样例可以发现若按照 lca 的深度，从大到小，能选就选。具体需要树剖维护树上路径加，路径求 \(\max\)。

感性理解一下为什么这样是正确的。选择一条路径后，它的 lca 的子树中的点，是不能通过 lca 走到子树外面的。所以我们按照 lca 的深度降序选。

C. 生日

首先将一条 \(u \to v\) 的边拆成两条：\(u \to v\) 和 \(u \to\) 某个虚点 \(\to v\)，边权都是 \(1\)。分别表示不经过商店和经过商店。

中间这个虚点的数量可以做到 \(\mathcal O(n)\) 而不是 \(\mathcal O(m)\)。我们只需要把 \(u\) 的每条出边对应的虚点都设成 \(u' = u + n\) 即可。具体的，初始化 \(u \to u'\)，每次连边 \(u \to v\) 和 \(u' \to v\) 即可。

考虑一个弱化问题：从 \(1\) 出发，不对购买的商品进行限制，在 \(T\) 秒内回到 \(1\) 的方案数是多少。

显然 DP：设 \(f(u, t)\) 表示在 \(t\) 秒时恰好到达 \(u\) 的方案数。转移 \(f(u, t) \to f(v, t + 1)\)（\((u, v) \in \mathbb E\)）。答案为 \(\sum_{t \le T} f(1, T)\)。

第一维很小，第二维很大。矩阵快速幂即可。

对于原问题，我们考虑容斥。

首先求总方案数，即不对购买的商品进行限制，也就是上面的问题。这是全集。

减去某一种商品一定不购买的方案数。枚举那种商品一定不买。枚举每条边，如果这条边的商店里存在这种商品，把这条边断掉。

加上某两种商品一定不购买的方案数，容斥下去即可。