9.18 模拟赛

https://mna.wang/contest/1412/problem/3

很好很好的计数题。

给定一个 $n\times m$ 的网格图，其中 . 表示空地，# 表示障碍物。

你需要选出恰好两个不同的障碍物，将它们变成空地，使得操作完成后，节点 $(1,1)$ 和 $(n,m)$ 恰好通过空地四联通，保证初始时 $(1,1)$ 和 $(n,m)$ 不为障碍物，请你输出方案数。

$n,m\le 1000$。

首先如果原本 $(1,1)$ 和 $(n,m)$ 就连通那么简单特判掉即可。以下讨论的都是 $(1,1),(n,m)$ 不得不炸若干障碍物后才能连通的情况。

我们给每个连通块一个编号。$(i,j)$ 所在的连通块的编号为 $co{l}_{i,j}$。

我们思考将两个什么样的障碍物炸掉后能让 $(1,1),(n,m)$ 连通。分类讨论。

一种情况是其中一个障碍物是特殊点，换言之只需要炸掉这一个障碍物即可连通。那么另一个障碍物显然无限制随便选。

思考什么样的点是特殊点。显然将某个点 $A$ 炸掉后，原本与 $A$ 相邻的连通块会合并成一个。我们希望将 $(1,1),(n,m)$ 连通，也就是将 $co{l}_{1.1}$ 和 $co{l}_{n,m}$ 合并，也就是说 $A$ 必须与连通块 $co{l}_{1,1},co{l}_{n,m}$ 均相邻。统计这个是极易的。

我们把上面说的特殊点标记。那么在下面的情况中这些被标记的点一定不能被选，否则会算重。我们默认下面说所有点都是没有被标记的。

对于剩下的情况，即只有炸掉两个障碍物才能连通。

首先你做掉这两个障碍物相邻的情况。接下来我们考虑这两个障碍物不相邻的情况。

如果炸掉点 $A,B$ 后合法，等价于 $A$ 原本与 $(1,1)$ 连通，$B$ 原本与 $(n,m)$ 连通，且 $A,B$ 与至少一个连通块均连通。换言之存在至少一个连通块 $C$ 满足 $A$ 与 $co{l}_{1,1},C$ 相邻且 $B$ 与 $co{l}_{n,m}.C$ 相邻。

我们求出与障碍物 $(i,j)$ 相邻的连通块编号组成的集合为 $S_{i,j}$。显然 $\mathbf{|}{\mathbf{S}}_{\mathbf{i}\mathbf{,}\mathbf{j}}\mathbf{|}\le \mathbf{4}$。那么问题等价于求：

• 有多少障碍物 $(i_0,j_0),(i_1,j_1)$ 满足 $co{l}_{1,1}\in S_{i_0,j_0}$ 且 $co{l}_{n,m}\in S_{i_1,j_1}$ 且 $S_{i_0,j_0}\cap S_{i_1,j_1}\ne \varnothing$。

我们求出所有满足 $co{l}_{1,1}\in S_{i,j}$ 的 $(i,j)$ 组成的集合为 $A$，满足 $co{l}_{n,m}\in S_{i,j}$ 的 $(i,j)$ 组成的集合为 $B$。显然 $A,B$ 没有交集（有交集会在最开始被特判掉）。上面的问题等价于：

• 求有多少 $v\in A,u\in B$ 满足 $S_v\cap S_u\ne \varnothing$。

集合？交集？大小 $\le 4$？容斥！

做完了。