扩展欧几里得算法

给定整数 \(a, b, c\)。求一组整数解 \(x, y\) 使得：

\[ax + by = c \]

或报告无解。

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首先考虑 \(c = \gcd(a, b)\) 的简单情况，即：

\[ax + by = \gcd(a, b) \]

当 \(c \mid \gcd(a, b)\) 时，我们可以将等式两边同时乘 \(\dfrac c{\gcd(a, b)}\) 已得到原问题的解，即 \(a \gets a \times \dfrac c{\gcd(a, b)},b \gets b \times \dfrac c{\gcd(a, b)}\)。根据裴蜀定理我们断言原问题有解当且仅当 \(c \mid \gcd(a, b)\)。

考虑这个求解弱化问题。

设：

\[\begin{matrix} ax_1 + by_1 = \gcd(a, b) \\ bx_2 + (a \bmod b)y_2 = \gcd(a, b) \end{matrix} \]

我们希望构造任意一组合法的 \(x_1,y_1\)。\(x_2,y_2\) 暂时辅助我们实现这一点。

那么：

\[\begin{aligned} \gcd(a, b) &= bx_2 + (a \bmod b)y_2 \\ &= bx_2 + \left( a - \left \lfloor \dfrac ab \right \rfloor \times b\right)y_2 \\ &= ay_2 + b\left(x_2- \left \lfloor \dfrac ab \right \rfloor y_2\right) \end{aligned} \]

所以 \(\left\{ \begin{matrix}x_1 = y_2,\\ y_1=\left(x_2- \left \lfloor \dfrac ab \right \rfloor y_2\right) = \gcd(a, b) \end{matrix}\right.\) 就是一组合法的构造解。

所以问题转化成了求解 \(x_2,y_2\)。这与原问题相同。递归即可。

递归的边界是 \(b = 0\)。即需要构造一组解 \(x,y\) 使得：

\[ax + 0 \cdot y = a \]

显然 \(\left\{ \begin{matrix}x=1,\\ y\in \mathbb Z\end{matrix}\right.\) 即可。这里取 \(y = 0\)。

int x, y;

void exgcd(int a, int b) {
    if (!b) x = 1, y = 0;
    else {
        exgcd(b, a % b);
        int _x_ = x, _y_ = y;
        x = _y_;
        y = _x_ - a / b * _y_;
    }
}