最小生成树 trick

经常做不出有关求最小生成树的题，而且最近网络赛上出得很多。

一般来说，给一张奇奇怪怪的图求其最小生成树，最简单的情况是模拟 kruskal。较复杂的（比如边数是 $n^2$ 级别的）图可能会存在一些边用不到。

下面题目展示了一些图的形态，所求均为该图的最小生成树。

1. P5687 [CSP-S2019 江西] 网格图

一张 $n\times m$ 的网格图，$(i,j)$ 与 $(i,j+1)$ 有边权为 $a_i$ 的边，$(i,j)$ 与 $(i+1,j)$ 有边权为 $b_j$ 的边。求最小生成树。

模拟 Kruskal。把输入的 $a_{1\dots n},b_{1\dots m}$ 一块排序，然后按照权值从小到大依次处理一整行/列。

比如我们当前要处理第 $i$ 行。显然这一行上有 $m$ 个节点，$m-1$ 条边。如果我们能求出这些边中有 $k$ 条我们要选择，那么把答案加上 $k\times a_i$ 即可。

这里的选择是指两端点不连通的边的数量。

首先有一些情况是现在这 $m$ 个点两两不连通，此时 $k=m-1$。这些情况为：

1. 这是第一次操作。
2. 之前进行的操作都是列。
3. 之前进行的操作都是行。

剩下的情况是之前既进行过行操作也进行过列操作。例如：

此时 $(i,y_1-1),(i,y_1)$ 连通，$(i,y_2-1),(i,y_2)$ 连通，我们应该减去这两条边。当然这样的前提是我们以前操作过 $x_0$ 行。

令 $c$ 表示之前操作列的此时，那么 $k=m-c$。

列同理不再赘述。

https://www.luogu.com.cn/record/175093830

2. [ABC364F] Range Connect MST

3. [ABC352E] Clique Connect

图中最初没有边。$m$ 次操作，给定一个集合 $S_i=\{A_{i,1},A_{i,2},\dots ,A_{i,K_i}\}$。对于每一对在 $S_i$ 中且 $u<v$ 的顶点 $u,v$。在 $u$ 和 $v$ 之间添加一条权重为 $C_i$ 的边。求最小生成树。

边很多。

我们考虑 Kruskal 的做法，是将所有边按照边权排序，然后从小到大处理每条边。这意味着如果真的暴力建图并将边权排序的话，第 $i$ 次操作加的边在新的数组中是连续的，但显然顺序不重要。而且我们知道加的 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{|S_i|}{2})}$ 条边中最多只会用到 $|S_i|-1$ 条，如果多于这个数必定有环，又因为顺序不重要所以我们直接将相邻两个点连边即可。

优化边的数量后，跑朴素 Kruskal 即可。

4. [ABC355F] MST Query

图中最初没有边。$q$ 次操作，给定 $l_i,r_i$，对于所有 $j\in [l_i,r_i]$，在点 $n+i$ 和点 $j$ 之间添加一条权重为 $c_i$ 的边。求最小生成树。

仍然模拟 Kruskal。我们将所有操作离线，然后按照 $c_i$ 排序。顺次处理每次操作。

操作 $i$ 结束后 $[l_i,r_i]$ 中的点一定连通。我们标记 $i$ 与 $i+1$ 的联通情况为 $a_i$，即若 $a_i=1$ 则 $i,i+1$ 连通，反之亦然。

首先 $n+i$ 号点一定会与 $l_i$ 连边。因为在此之前 $n+i$ 是孤立点，没有任何点与它连通。

我们考虑 $n+i$ 是否会与 $l_i+1$ 连边，即判断此时 $l_i+1$ 是否与 $n+i$ 连通。此时因为唯一与 $n+i$ 有边的点是 $l_i$，所以问题等价于 $l_i+1$ 是否与 $l_i$ 连通。不难发现这是 $a_i$ 的定义。

同理继续处理 $l_i+2$。这个点是否与 $n+1$ 连边也取决于 $a_{i+1}$。

所以我们得到，若 $n+i$ 与 $j\in [l_i,r_i]$ 有连边，当且仅当：

• $j=l_i$；
• 或 $a_{j-1}=0$。

所以我们需要快速求出 $[l_i+1,r_i]$ 中 $0$ 的数量。同时每次操作后，$[l_i,r_i]$ 中的点已经全部联通了，所以这次操作结束后，$[l_i,r_i-1]$ 应该被全部推平成 $0$。而维护区间推平和求 $0$ 的数量可以用线段树。

https://www.luogu.com.cn/record/175172388

5. MX 模拟赛 数字生成树（$60$ 部分分）

给定一张图，求最小按位或生成树。如其名称，所求的生成树需满足所有边权的按位或和最小。

这题跟 Kruskal 没关系。

按位或和最小，我们可以从高到低枚举每个二进制位，判断这个答案的这个二进制位能否为 $0$。

如果这一位是 $0$，根据按位或的定义，所有边权的第 $i$ 位为 $1$ 的边必须不选。我们在图上将这些边删掉。如果剩下的边仍能保证图的连通则答案的第 $i$ 个二进制为 $0$。否则把刚才删的边加回来，此时答案的这一位不得不是 $1$。

https://mna.wang/contest/submission/557348