8.26 模拟赛（NOIP十三连测 #7）

2024--梦熊&太戈--NOIP十三连测 #7【订正】 - 比赛 - 梦熊联盟 (mna.wang)

总结

T1 基本和 CF1245F 相同。很快就写完了。

T2 题意特别难懂，模拟了很长时间后题意还是有些晕，就先放弃了。

T3 相较于 T2 看上去简单的多，先冲 T3。

特殊性质 $A$ 有 $50$ 分，这可能是正解的关键。尝试打表找规律无果。$50$ 分实在是太多就意味着它和正解的难度是接近的。

这期间写了 $n\le 2$ 的，本来想拿 $10$ 分，结果 $30$ 分？？？？？？？

T4 看起来也可做，打了 $n\le 500$ 的，这是一个预处理前后缀的简单技巧。不知道 $a_i\le 20$ 咋做。

给 T2 时间只有 20 分钟，感觉 $30$ 分写不出来了，就没写。

总结：

1. 你没有做出 $3$ 题或 $4$ 题的实力。如果这两道题中存在一个部分分的分值很大（比如 T3 的 $50$ 分）就不要死磕这档分。因为这实在太难。
2. 如果一个题的题意很复杂，先写根据题意写一个暴力（比如 T2 的 $30$ 分）。写暴力的时候可以帮助你理解题意，而且写完之后关掉题面，照着暴力代码思考优化，可能会更方便些。
3. 非正解（部分分）的找规律时间不要太长。

A. pair

题意

求 $\sum _{x=0}^N\sum _{y=0}^N[x\mid y=x\oplus y]$。

$N\le 2^{{10}^6}$。

做法

注意到 $x\mid y=x\oplus y$ 等价于 $x\mathrm{and}y=0$。于是 CF1245F。

B. tree

不会。

C. mod

题意

给定长度为 $n$ 的正整数序列 $a$，梦梦给出了以下函数：

void mod(int x){
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i]%x;
}

你可以执行这个函数任意次，且每次调用函数的参数可以任意指定，但要求调用的参数 $x$ 为正整数，请问最终可以得到多少种不同的 $a$ 序列。模 $998244353$。

性质 $A$ 思路

每次操作选择的 $x$ 一定越来越小。

对于初始的两个相邻的数 $k,k+1$，将它们模 $x$ 后，它们要么仍相差 $1$（即变成 $kmodx,kmodx+1$），或变成 $x-1,0$。

若再模一个 $y$，有可能仍相差 $1$，有可能变成 $kmodxmody,0$。

也就是说如果最终能得到序列 $a$，且最后一次操作的数是 $x$，等价于：

• $\mathrm{\forall }1\le i\le n$，$0\le a_i<x$。

• $a_1=1,a_2=2,\dots ,a_{x-1}=x-1,a_x=0$；

• $\mathrm{\forall }x+1\le i\le n$，$a_i=0$ 或 $a_i=a_{i-1}+1$。

枚举 $x$。然后 DP 即可。设 $f(i,j)$ 表示考虑前 $i$ 个位置且 $a_i=j$ 的方案，转移极易。

此时你发现输出答案比标准答案少 $1$。这是因为你少考虑了一次操作都不进行的情况。

正解

不会。

D. divide

$n\le 500$ 可以预处理前后缀的 DP 的答案。我的实现里预处理 $n^2$，求答案 $n^3$。

$a_i\le 20$ 直接优化上一个 DP。因为长度 $\ge 20$ 的区间一定合法。代码不太好写。

正解是神秘 cdq 优化 DP。不会。